Rozkład prawdopodobieństwa

[Kanodelo]

Niech \(\Omega=\{1,2,4,8,16.......\}, \ F=2^{\Omega}\). Wyznacz stałą c tak,aby funkcja \(P:\mathcal{F}\to \left[ 0,1\right]\) dana wzorem \(P\left( \left\{ n\right\} \right)=\frac{c}{n}, \ n\in\Omega\) była p-stwem oraz oblicz P(A) jesli A jest zbiorem tych liczb ze zbioru \(\Omega\) kture są podzielne przez \(2^{2009}\)

[octahedron]

\(\sum_{n=0}^{\infty}P(2^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c}{2^n}=1
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c}{2^n}=c\sum_{n=0}^{\infty}\(\frac{1}{2}\)^n=c\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2c=1 \Rightarrow c=\frac{1}{2}\)

\(2^n\) jest podzielne przez \(2^{2009}\), gdy \(n\ge 2009\)
\(P(A)=1-\sum_{n=0}^{2008}\frac{c}{2^n}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\(\frac{1}{2}\)^{2009}}{1-\frac{1}{2}}=\(\frac{1}{2}\)^{2009}\)

[Lbubsazob]

\(P(A)=1-\sum_{n=0}^{2008}\frac{c}{2^n}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\(\frac{1}{2}\)^{2009}}{1-\frac{1}{2}}=\(\frac{1}{2}\)^{2009}\)

Tak teraz czytam to rozwiązanie i zastanawiam się, czemu w tej sumie znika \(c\). To dlatego, że \(c=\frac{1}{2}\) i po podstawieniu tego do wzoru mamy \(\sum_{n=0}^{2008} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}\), czyli ciąg geometryczny \(q^n\), gdzie \(q=2009\)?

[octahedron]

Tak, po prostu podstawiam.

[Lbubsazob]

Ok, dzięki za wyjaśnienie.