Znajdź wzór przekształcenia odwrotnego do T i sprawdź, że jest ono przekształceniem afinicznym.
\(T(x,y)=(3x+4y+1, 4x-3y- \frac{2}{3})\)
I teraz jest chwila zakłopotania. Czy mam tu normalnie policzyć przekształcenie odwrotne, czy jakoś inaczej? W skrypcie odnalazłem info, że to złożenie przekształcenia odwrotnego \(L^{-1}\) do przekształcenia liniowego i translacji \(T^{-1}\).
Więc liczyć najpierw odwrotne do liniowego i translacji a później złożyć?
Przekształcenie afiniczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
alexx17
- Fachowiec
- Posty: 2084
- Rejestracja: 27 mar 2011, 21:34
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękowania: 38 razy
- Otrzymane podziękowania: 937 razy
- Płeć:
Głupio teraz pisać rozwiązanie tak łatwego zadania.. No, ale może komuś się przyda. Metody są dwie. Jedna ze wzoru, ale trzeba go znać, więc nie będę tego robił. Druga prostsza. Zwykłe wyliczenie.
\(T(x,y)=(3x+4y+1, 4x-3y- \frac{2}{3})\\ \begin{cases}x'=3x+4y+1\\y'=4x-3y- \frac{2}{3} \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases}3x=x'-4y-1\\3y=4x- \frac{2}{3}-y' \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases}x= \frac{x'-4y-1}{3}\\y= \frac{4x- \frac{2}{3}-y' }{3} \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases}x= \frac{x'-4y-1}{3}\\y= \frac{4x- \frac{2}{3}-y' }{3} \end{cases} \ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ \begin{cases}x'= \frac{1}{3}x- \frac{4}{3} y- \frac{1}{3}\\y'= \frac{4}{3} x - \frac{1}{3}y- \frac{2}{9} \end{cases}\)
Jest to przekształcenie afiniczne, ponieważ jest złożeniem przekształcenia liniowego o macierzy części liniowej \({ \frac{1}{3} \ \ \ \ \ \frac{4}{3} \choose - \frac{4}{3} \ \ \ - \frac{1}{3} }\) i translacji o wektor \([- \frac{1}{3}, - \frac{2}{9}]\)
\(T(x,y)=(3x+4y+1, 4x-3y- \frac{2}{3})\\ \begin{cases}x'=3x+4y+1\\y'=4x-3y- \frac{2}{3} \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases}3x=x'-4y-1\\3y=4x- \frac{2}{3}-y' \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases}x= \frac{x'-4y-1}{3}\\y= \frac{4x- \frac{2}{3}-y' }{3} \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases}x= \frac{x'-4y-1}{3}\\y= \frac{4x- \frac{2}{3}-y' }{3} \end{cases} \ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ \begin{cases}x'= \frac{1}{3}x- \frac{4}{3} y- \frac{1}{3}\\y'= \frac{4}{3} x - \frac{1}{3}y- \frac{2}{9} \end{cases}\)
Jest to przekształcenie afiniczne, ponieważ jest złożeniem przekształcenia liniowego o macierzy części liniowej \({ \frac{1}{3} \ \ \ \ \ \frac{4}{3} \choose - \frac{4}{3} \ \ \ - \frac{1}{3} }\) i translacji o wektor \([- \frac{1}{3}, - \frac{2}{9}]\)