Obliczyć pochodne funkcji

[alicja403]

Polecenie: obliczyć pochodne, proszę o sprawdzenie moich odp:
a)\(y=arcsin \frac{2x}{1+x^2}\)
moja odp.\(y'= \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{2x}{1+x^2} } } \frac{2+2x^2-4x}{(1+x^2)^2}\)
b)\(y=(x^2+1)e^{-2x}\)
moja odp.\(y'=2e^{-2x}(x-x^2+1)\)
c)\(y=x \sqrt[5]{(x-1)^4}\)
moja odp.\(y'= \sqrt[5]{(x-1)^4} + \frac{4x}{5 \sqrt[5]{x-1} }\)
d)\(y=x^2(x^2-9)^{10}\)
moja odp.\(y'=2x[(x^2-9)^{10}+x^2(10(x^2-9)^9)]\)
e)\(y= \frac{arccos \sqrt{1-x^2} }{x}\)
moja odp.\(y'= \frac{1}{x \sqrt{1-x^2} }- \frac{arccos \sqrt{1-x^2} }{x^2}\)

[Murarz]

1.
\(y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}}\cdot \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}\)

[Murarz]

2.
\(y'=(x^2+1)'e^{-2x}+(e^{-2x})'\cdot (x^2+1)=2xe^{-2x}+(-2x)'e^{-2x}(x^2+1)=2e^{-2x}(x-x^2-1)\)

[Murarz]

3. Ok.
4. Ok, choć ja bym to zapisał \(2x(x^2-9)^9[11x^2-9]\)

[alicja403]

a jak to w tym 4 zrobiłeś ??

[irena]

a)
\(\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}}\cdot\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\\=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+2x^2+x^4-4x^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot\frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2}=\\=\frac{1+x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2}}\cdot\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\\=\frac{1+x^2}{|1-x^2|}\cdot\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{1+x^2}\)

[Murarz]

\(2x[(x^2-9)^{10}+10x^2(x^2-9)^9]=2x(x^2-9)^9[(x^2-9)+10x^2]=2x(x^2-9)^9[11x^2-9]\)
W tym ostatnim wyszła mi taka pochodna:
\(-\frac{1}{x^2}arccos(\sqrt{1-x^2})+\frac{1}{x}\cdot(\sqrt{1-x^2})'\)
\((sqrt{1-x^2})'=(1-x^2)'\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y'=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{x^2}arccos(\sqrt{1-x^2})\)
Oczywiście też mogłem się pomylić

[irena]

e)
\(\frac{\frac{-1}{\sqrt{1-1+x^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)\cdot x-arc cos{\sqrt{1-x^2}}}{x^2}=\frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-arc cos{\sqrt{1-x^2}}}{x^2}=\frac{x-\sqrt{1-x^2}\ arc cos{\sqrt{1-x^2}}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)

[Murarz]

A teraz ja mam pytanie, bo możliwe, że coś źle robię.
\(y=\frac{1}{x}arccos(\sqrt{1-x^2})\)
\(y'=(\frac{1}{x})'arccos(\sqrt{1-x^2})+(arccos(\sqrt{1-x^2}))'\frac{1}{x}\)
\(y'=-\frac{1}{x^2}arccos(\sqrt{1-x^2})+\frac{1}{x}(arccos(\sqrt{1-x^2}))'\)
\((arccos(\sqrt{1-x^2}))'=(\sqrt{1-x^2})'\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-1+x^2}}\)
\((\sqrt{1-x^2})'=(1-x^2)'\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((arccos(\sqrt{1-x^2}))'=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y'=-\frac{1}{x^2}arccos(\sqrt{1-x^2})+\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Co jest w tym złego ?

Proszę o pomoc.

[irena]

W e) to ja nie wpisałam jednej pochodnej. Zaraz będę poprawiać

[alicja403]

jeszcze mam problem z tym co jest w a) czy też mogłabyś to minimalnie rozpisać ?? z góry dziękuje

[kamil13151]

A teraz ja mam pytanie, bo możliwe, że coś źle robię.
\(y=\frac{1}{x}arccos(\sqrt{1-x^2})\)
\(y'=(\frac{1}{x})'arccos(\sqrt{1-x^2})+(arccos(\sqrt{1-x^2}))'\frac{1}{x}\)
\(y'=-\frac{1}{x^2}arccos(\sqrt{1-x^2})+\frac{1}{x}(arccos(\sqrt{1-x^2}))'\)
\((arccos(\sqrt{1-x^2}))'=(\sqrt{1-x^2})'\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-1+x^2}}\)
\((\sqrt{1-x^2})'=(1-x^2)'\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((arccos(\sqrt{1-x^2}))'=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y'=-\frac{1}{x^2}arccos(\sqrt{1-x^2})+\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Co jest w tym złego ?

Proszę o pomoc.

\(\sqrt{x^2}=|x|\)

[irena]

\(\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}}\cdot\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\\=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+2x^2+x^4-4x^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot\frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2}=\\=\frac{\sqrt{(1+x^2)^2}}{\sqrt{1-2x^2+x^4}}\cdot\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\\=\frac{1+x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2}}\cdot\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}=\frac{2}{1+x^2}\)

[alicja403]

ok dziękuje bardzo mam jeszcze tylko prośbę o to abyście zajrzeli do tych 3 przykładów z pochodnych czy są dobrze http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=28423