wartość logiczna

[crrr]

podobny przykład do poprzedniego:

\(zaprzecznie \wedge_{x \in R} [(| \frac{2x+1}{x-2}|<2) \wedge (( \frac{1}{5}) ^{-2x+2} - ( \frac{1}{25})^ {\frac{x-1}{x+1}} \ge 0)]\)

z pierwszej części mi wyszło, że \(x \in (- \infty, \frac{3}{4} )\)

a w tym drugim próbuje robić tak.
\((\frac{1}{5}) ^{-2x+2} - ( \frac{1}{5})^ {\frac{2x-2}{x+1}}\)
mogę tak?
później na jeden ułamek:
\((\frac{1}{5}) ^{-2x+2 -{\frac{2x-2}{x+1}}\)

i wychodzi
\((\frac{1}{5}) ^{ \frac{-2x^2-2x+4}{x+1}} \ge 0\)

co z tym zrobić?

[Galen]

Zaprzeczenie zdania z kwantyfikatorem ogólnym jest zdaniem z kwantyfikatorem szczegółowym.
Tu będzie:
\(\bigvee_{x \in R}[| \frac{2x+1}{x-2}| \ge 2 \vee (( \frac{1}{5})^{-2x+2}-( \frac{1}{25})^{ \frac{x-1}{x+1}}<0]\)

Znasz wykres funkcji homograficznej
\(f(x)= \frac{2x+1}{x-2}= \frac{2(x-2)+5}{x-2}= \frac{5}{x-2}+2\)
Zbiór wartości tej funkcji to \(y \in R \setminus \left\{2 \right\}\)
Jeśli dołożysz moduł,to masz \(y=|f(x)|\) i tu zbiór wartości to \(<0;+ \infty )\)
Czyli istnieją x,które spełniają alternatywę,bo wystarczy by jadno ze zdań alternatywy było prawdziwe.
Odp.Zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym.

[Galen]

W Twoim rozumowaniu była koniunkcja,a żeby koniunkcja była prawdziwa potrzeba by oba zdania były prawdziwe.
Pokazujesz,ze pierwsze zdanie nie jest prawdziwe,bo nie dla wszystkich x rzeczywistych,tylko dla pewnego podzbioru,
to już wystarczy by stwierdzić,że koniunkcja jest fałszem.
Jej zaprzeczenie będzie prawdą.

[crrr]

ok. a jakbym bardzo chciał rozwiązać prawą stronę to jak to zrobić?

[crrr]

mi z tego
\(| \frac{2x+1}{x-2}|<2\)
wyszło takie rozwiązanie:
\(x \in (- \infty , \frac{3}{4} )\)

w sumie to z rysunku też mi tak wychodzi.
no i w sumie teraz trochę nie rozumiem. w założeniu mam "nie dla każdego x". czyli chyba mi się zgadza, bo tak faktycznie mi wychodzi. Czyli już drugiej części nie muszę rozwiązywać?

[Galen]

Masz rację.