Obliczyć granice ciągów.

[Wierzba]

1. \(\lim_{n\to +\infty} (\sqrt[4]{n^4 +16} - n)\) Tutaj mam zastosować wzór a^4 - b^4 ???


2. \(\lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{n^3 +1}}{\sqrt[3]{n^5 +1}+1}\)


3. \(\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt[3]{8^n^+^1 +3}}{2^n +1}\)

Prosiłbym o jakieś wskazówki
Z góry dziękuję za pomoc:)

[radagast]

1.
\(\lim_{n\to +\infty} (\sqrt[4]{n^4 +16} - n)=\lim_{n\to +\infty} \frac{(\sqrt[4]{n^4 +16} + n)(\sqrt[4]{n^4 +16} - n)}{(\sqrt[4]{n^4 +16} +n)} =\lim_{n\to +\infty} \frac{(\sqrt{n^4 +16} - n^2)}{(\sqrt[4]{n^4 +16} +n)} =
\lim_{n\to +\infty} \frac{(\sqrt{n^4 +16} - n^2)(\sqrt{n^4 +16} + n^2)}{(\sqrt[4]{n^4 +16} +n)(\sqrt{n^4 +16} + n^2)} =\lim_{n\to +\infty} \frac{16 }{(\sqrt[4]{n^4 +16} +n)(\sqrt{n^4 +16} + n^2)} =0\)

[radagast]

3.
\(\lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt[3]{8^n^+^1 +3}}{2^n +1}=\lim_{n\to +\infty} \sqrt[3]{\frac{8^n^+^1 +3}{(2^n +1)^3}} =\lim_{n\to +\infty} \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^n +3}{8^n+3 \cdot 4^n+3 \cdot 2^n +1}} =\lim_{n\to +\infty} \sqrt[3]{\frac{8 + \frac{3}{8^n} }{1+ \frac{3}{2^n} + \frac{3}{4^n} + \frac{1}{8^n} }} = \sqrt[3]{8}=2\)

[radagast]

2.
\(\frac{\sqrt{n^3 +1}}{\sqrt[3]{n^5 +1}+1} \le \frac{\sqrt{n^3 +1}}{\sqrt[3]{n^5 +1}}= \sqrt[6]{ \frac{(n^3+1)^3}{(n^5+1)^2} } \le \sqrt[6]{ \frac{n^9}{n^{10}+2n^5+1} } \to 0\)
jednocześnie
\(0 \le \frac{\sqrt{n^3 +1}}{\sqrt[3]{n^5 +1}+1}\)
Zatem z twierdzenia o trzech ciągach \(\lim_{n\to \infty } \frac{\sqrt{n^3 +1}}{\sqrt[3]{n^5 +1}+1}=0\)