granica ciągu

[anilina]

witam!
mam obliczyć granicę ciągu,ale kompletnie nie wiem jak to ugryźć....

\(u_n= \frac{1+2+...+n}{n^2}\)

czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak się zabierać za takie przypadki?
z góry dzięki!

[Galen]

W liczniku masz sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(1+2+3+4+...+n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{1}{2}(n+n^2)=0,5n^2+0,5n\)
\(u_n=\frac{0,5n^2+0,5n}{n^2}\)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{n^2(0,5+ \frac{0,5}{n}) }{n^2}= \lim_{n\to \infty }(0,5+ \frac{0,5}{n})=0,5+0=0,5\)

[anilina]

hmm,czyli generalnie chodzi o to,że na początku to nie bardzo mam co zrobić z licznikiem, więc go muszę przekształcić,biorę wzór na wyrazy ciągu arytmetycznego i potem normalnie granicę..? jeżeli tak, to nawet coś tam zaczynam ogarniać

ale np dla 1^2 + 2^2+...+n^2 to nie mam pojęcia jak to przekształcić..? wiem,że mam dojść do wzoru \(\frac{n(n+1 \cdot (2n+1))}{6}\), według poprzedniego rozumowania to bym szła rozumowaniem, że \((1^2 + n^2) \cdot n\).... ale wiem, że nie poprawnie i w dodatku ta 6 w mianowniku...

[Galen]

W pierwszym zadaniu zastosowany jest wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego.

W tym drugim nie masz wyrazów ciągu arytmetycznego,ani geometrycznego.
Wzór
\(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) znasz ,bo był dowodzony indukcyjnie,kiedyś
Zapisujesz go po wymnożeniu i uporządkowaniu,a potem dzielisz licznik i mianownik przez najwyższą
potęgę liczby n w mianowniku.

\(\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)= \frac{1}{3}n^3+ \frac{1}{2}n^2+ \frac{1}{6}n\)

[anilina]

ok, dzięki to ogarniam.. tzn ja wiem co dalej robić,ale mam problemy z tymi wzorami,bo myślałam, że sama mam je jakoś wyprowadzić...

a co zrobić jeżeli mam obliczyć granicę:
\(u_n=(1- \frac{1}{n^2} )^n\)
chciałam to zapisać jako:
\(u_n= (1+ (- \frac{1}{n^2} ) )^\frac{1}{n^2}]n^2\) hmm nie wiem co zepsułam ,że mi potęg nie zapisuje na końcu.. w każdym razie ten pierwszy nawias do potęgi \(\frac{1}{n^2}\) a drugi do \(n^2\) no właśnie wiem, że źle ,ale nie mam innego pomysłu

[Galen]

\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{c}{n})^n=e^c\)
To już na pewno znasz.
\(\lim_{n\to \infty }((1+ \frac{-1}{n^2})^{n^2})^{ \frac{1}{n}}= \lim_{n\to \infty } (e^{-1})^{ \frac{1}{n}} =( \frac{1}{e})^0=1\)

[anilina]

ok, wielkie dzięki!
mam jeszcze takie zadania:
1.\(u_n= (1- \frac{4}{n} )^{-n+3}\)
teoretycznie wyszedł mi wynik taki jaki powinien,ale nie wiem na ile to kwestia przypadku:P

więc ja rozpisuję:
\([(1+ \frac{4}{-n} )^{ \frac{-n}{4} }]^4=e^4\)

2.\(u_n=(1- \frac{3}{n} )^n\)
\(=[(1+ \frac{3}{-n} )^{ \frac{-n}{3} }]^{-3}=e^{-3}\)
a powinno wyjść \(e^{ \frac{-1}{3} }\)

3.\(u_n=( \frac{n^2+2}{2n^2+1} )^{n^2}\)
tutaj dzielę licznik i mianownik przez najwyższą potęgę,potem mam:
tylko ostatecznie dochodzę do czegoś takiego: \(\frac{ \varepsilon ^2}{ \varepsilon ^{ \frac{1}{n^2} }}\) więc jak dla mnie to jest zero,a dla nich \(frac{3}{2}\), kto ma rację-rzecz oczywista...

[Galen]

3)
\((\frac{1}{2})^{ \infty }=0\)

[anilina]

no właśnie w 3 to jest odp \(e^{ \frac{3}{2} }\)

[radagast]

Galen ma racje :
3.\(\lim_{n\to \infty } u_n= \lim_{n\to \infty }( \frac{n^2+2}{2n^2+1} )^{n^2} =\lim_{n\to \infty }( \frac{n+2}{2n+1} )^{n} =\lim_{n\to \infty } \left( \frac{1}{2}\right) ^n \left( \frac{2n+4}{2n+1} \right) ^{n} =\lim_{n\to \infty } \left( \frac{1}{2}\right) ^n \left( 1+\frac{3}{2n+1} \right) ^{n} =
\lim_{n\to \infty } \left( \frac{1}{2}\right) ^n \cdot \lim_{n\to \infty } \left( 1+\frac{3}{2n+1} \right) ^{n} =0 \cdot e^{ \frac{3}{2}}=0\)
zgubili \(\lim_{n\to \infty } \left( \frac{1}{2}\right) ^n\) i dlatego mają błędną odp.

[anilina]

dzięki,dzięki...hmm,a w jaki sposób wyłączyliśmy tą \(\frac{1}{2}\) przed nawias? tzn, bo widzę, że licznik razy 2 mnożymy no i czy tam dalej nie powinno być \(\frac{3}{2n+1}\)?

[radagast]

\(\frac{n+2}{2n+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n+4}{2n+1}\)
no to
\(( \frac{n+2}{2n+1} )^{n} = \left( \frac{1}{2}\right) ^n \left( \frac{2n+4}{2n+1} \right) ^{n}\)
a potem
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{2n+4}{2n+1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2n+1+3}{2n+1}=\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+1}+ \frac{3}{2n+1}\right) =\frac{1}{2} \cdot \left( 1+ \frac{3}{2n+1}\right)\)

[anilina]

dzięki, wystarczyła pierwsza linijka. zostały mi dwie rzeczy jeszcze,jakby ktoś mógł okiem rzucić to będę wdzięczna!
1.
\(u_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }\)
no i tak ja bym to wzięła pod jeden pierwiastek i robiła z twierdzenia o trzech ciągach albo usunęła tą niewymierność,w każdym razie nie wiem za bardzo co dalej z tym robić ii druga rzecz to:

\(u_n= \frac{1}{n^k} + \frac{2}{n^k} +...+ \frac{n}{n^k}\)
no i jak dla mnie licznik to jest ciąg arytmetyczny i mam go bo wzoru podstawić, a mianownik to ciąg stały? więc mam podzielić licznik przez mianownik po podstawieniu?

[Galen]

1)
Pod pierwiastkiem jest stała,więc masz
\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{c}=1\)
Tu jest
\(\sqrt[n]{c_1}- \sqrt[n]{c_1}=1-1=0\)
2)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{2}n^2+ \frac{1}{2}n }{n^k}= \frac{1}{2}n^{2-k} + \frac{1}{2}n^{1-k}\)
Jeśli k=1,to jest \(+ \infty\)
Jeśli k=2,to jest granica równa \(\frac{1}{2}\)
Jeśli k>2,to jest granica 0.