Mam pytanie odnośnie obliczania pochodnej \(\frac{dy}{dx}\)oraz \(\frac{d^2y}{dx^2}\)funkcji danej równaniem parametrycznym.
Mam w przykładzie podane, że \(x=e^t cos t\), a \(y=e^t sin t\)
I teraz wyszło mi, że pochodna z y= \(e^t(sint+cost)\), a pochodna z x=\(e^t(cos t-sin t\))
Podstawiam to do wzoru \(\frac{dy}{dx}\) i wychodzi mi \(\frac{e^t(sin t + cos t)}{e^t(cos t - sin t)}\), oczywiście po uproszczeniu mam \(\frac{(sin t + cos t)}{(cos t - sin t)}\), i teraz jak chcę obliczyc pochodną drugiego rzędu to muszę najpierw obliczyc pochodną z y' i podzielic ją przez pochodną z x. Jednak jak obliczyc pochodną z y' tzn. \((\frac{(sin t + cos t)}{(cos t - sin t)})'\) ? Proszę o pomoc
obliczanie pochodnej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
\(\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\sin t +\cos t}{\cos t - \sin t}\)
\(\frac{d^2 y}{dx^2} =\frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx})=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}=(*)\)
\((*)\frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx})=\frac{ (\cos t -\sin t)(\cos t -\sin t) -(\sin t + \cos t)(-\sin t -\cos t)}{(\cos t -\sin t)^2}=\frac{(\cos t -\sin t)^2 +(\sin t+ \cos t)^2}{(\cos t -\sin t)^2}=
=\frac{\cos^2 t -2\sin t \cos t +\sin^2 t +\sin ^2 t +2\sin t \cos t +\cos^2 t}{(\cos^t-\sin t)^2}=\frac{2}{(\cos t -\sin t)^2}\)
\((*)=\frac{2}{(\cos t -\sin t)^2} \cdot \frac{1}{e^t(\cos t- \sin t)}=\frac{2}{e^t(\cos t -\sin t)^3}\)
\(\frac{d^2 y}{dx^2} =\frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx})=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}=(*)\)
\((*)\frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx})=\frac{ (\cos t -\sin t)(\cos t -\sin t) -(\sin t + \cos t)(-\sin t -\cos t)}{(\cos t -\sin t)^2}=\frac{(\cos t -\sin t)^2 +(\sin t+ \cos t)^2}{(\cos t -\sin t)^2}=
=\frac{\cos^2 t -2\sin t \cos t +\sin^2 t +\sin ^2 t +2\sin t \cos t +\cos^2 t}{(\cos^t-\sin t)^2}=\frac{2}{(\cos t -\sin t)^2}\)
\((*)=\frac{2}{(\cos t -\sin t)^2} \cdot \frac{1}{e^t(\cos t- \sin t)}=\frac{2}{e^t(\cos t -\sin t)^3}\)