pochodne

[anilina]

Witam!
Mam problem z niektórymi zadaniami i baaardzo proszę Was o wsparcie. Mam obliczyć bliczyć pochodne:
1.
\(y= \frac{a-x}{ \sqrt{a^2-x^2} }
gdzie\ a>0\)

2.
\(u= \frac{ \sqrt{1+v}- \sqrt{1-v} }{ \sqrt{1+v}+ \sqrt{1-v} }\)

3.
\(z= \frac{sin \alpha }{ \alpha } + \frac{ \alpha }{sin \alpha }\)

4.
\(y= \frac{1}{3} sin^3x- \frac{2}{5} sin^5x + \frac{1}{7} sin^7x\)

5.
\(y= \frac{sin^2x}{cos^7x} - \frac{2}{5cos^5x}\)

6.\(y=2sin^3 \sqrt{ \frac{3}{x} }\)

z góry dziękuję!

[jola]

\((2\sin^3 \sqrt{ \frac{3}{x} })'=6 \cdot \sin^2 \sqrt{ \frac{3}{x} } \cdot \cos \sqrt{ \frac{3}{x} } \cdot \frac{1}{2 \sqrt{ \frac{3}{x} } } \cdot \frac{-3}{x^2}=-9 \cdot \sin^2 \sqrt{ \frac{3}{x} } \cdot \cos \sqrt{ \frac{3}{x} } \cdot \sqrt{ \frac{x}{3} } \cdot \frac{1}{x^2}\)

[radagast]

1.
\(y= \frac{a-x}{ \sqrt{a^2-x^2} }\); \(D=D'= \left\{x \in R: |x|<a \right\}\)

\(y= \frac{a-x}{ \sqrt{a^2-x^2} }=\frac{ \sqrt{ a-x} ^2 }{ \sqrt{ \left( a-x\right) \left( a+x\right) } }=\frac{ \sqrt{ a-x} }{ \sqrt{ a+x} }\)

\(y'= \left(\frac{ \sqrt{ a-x} }{ \sqrt{ a+x } } \right)'= \frac{ \frac{\sqrt{ a+x }}{-2\sqrt{ a-x }}- \frac{\sqrt{ a-x }}{2\sqrt{ a+x }} }{a+x}=\frac{ \frac{\sqrt{ a+x }}{-\sqrt{ a-x }}- \frac{\sqrt{ a-x }}{\sqrt{ a+x }} }{2(a+x)}=\frac{ \frac{ (a+x)- (a-x)}{ -\sqrt{a^2-x^2} } }{2(a+x)}=\frac{ x}{ -\sqrt{a^2-x^2}(a+x) }\)
ale głowy nie dam, ze się nie pomyliłam

[anilina]

hmm,w tym 6 tak samo robiłam,ale wynik jest inny, bo: \(y'=-3 \cdot \sqrt{ \frac{3}{x^3} } sin^2 \sqrt{ \frac{3}{x} } \cdot cos \sqrt{ \frac{3}{x} }\) hmmm na końcu powinno być \(cos \sqrt{ \frac{3}{x} }\) z \(\frac{3}{x}\) pod pierwiastkiem,ale nie mam pojęcia,czemu mi się nie wyświetla pierwiastek(sprawdzałam kilka razy,czy dobrze zapisałam);/
a w 1:
\(y'= \frac{-a}{(a+x) \cdot \sqrt{(a+x) \cdot (a-x)} }\)
eeh, sama nie wiem, czy to są błędy w odp,czy nie... bo podobno krysicki ma dużo takowych

[radagast]

W pierwszym to różnica z odpowiedziami jest tylko taka, ze mi się zredukowały \(a\), a u nich \(x\) (poza tym wszystko tak samo). Nie widzę błędu u siebie..., a z kolei Krysicki to tak stary zbiór, miał juz tyle wydań , ze wszystkie błędy miały szansę być poprawione... No nie wiem. Spróbuj przeanalizować moje rozwiązanie (starałam się wszystko pisać). Może znajdziesz błąd, a na pewno czegoś się nauczysz (jeśli nie matematyki to przynajmniej cierpliwości )

[jola]

\(( \frac{\sin^2x}{\cos^7x} - \frac{2}{5\cos^5x} )'= \frac{2 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot \cos^7x-\sin^2x \cdot 7 \cdot \cos^6x \cdot (-\sin x)}{\cos^{14}x}- \frac{-2 \cdot 25 \cdot \cos^4x \cdot (-\sin x)}{25 \cdot \cos^{10}x}=\\ =\frac{2 \cdot \sin x \cdot \cos^8x+7 \cdot \sin^3x \cdot \cos^6x}{\cos^{14}x}- \frac{50 \cdot \cos^4x \cdot \sin x}{25 \cdot \cos^{10}x} =\\ = \frac{\sin x \cdot \cos^6x \cdot (2 \cdot \cos^2x+7 \cdot \sin^2x)}{\cos^{14}x}- \frac{2 \cdot \sin x}{\cos^6x}=\\= \frac{\sin x \cdot (2+5 \cdot \sin^2x)}{\cos^8x}- \frac{2 \cdot \sin x}{\cos^6x}= \frac{2 \cdot \sin x+5 \cdot \sin^3x-2 \cdot \sin x \cdot \cos^2x}{\cos^8x} = \frac{2 \cdot \sin x \cdot (1-\cos^2x)+5 \cdot \sin^3x}{\cos^8x}=\\= \frac{7 \cdot \sin^3x}{\cos^8x}= \frac{7 \cdot tg^3x}{\cos^5x}\)

[anilina]

nie no dzięki, dzięki za każde rozwiązanie! cierpliwości to już się chyba nauczyłam,bo siedzę od rana nad tą majcą,przejechałam wszystkie(200?) zadania z pochodnych, kilkunastu za nic nie potrafię ruszyć,ale jakoś nie wyrzuciłam krysickiego przez okno..jeszczee

[jola]

\(( \frac{1}{3} \cdot \sin^3x- \frac{2}{5} \cdot \sin^5x+ \frac{1}{7} \cdot \sin^7x)'=\sin^2x \cdot \cos x-2\sin^4x \cdot \cos x+\sin^6x \cdot \cos x=\\=\sin^2x \cdot \cos x \cdot (1-2 \cdot \sin^2x+\sin^4x)=\sin^2x \cdot \cos x \cdot (1-\sin^2x)^2=\\=\sin^2x \cdot \cos^5x\)

[radagast]

Znalazłam u siebie błąd :
powinno być:
\(y'= \left(\frac{ \sqrt{ a-x} }{ \sqrt{ a+x } } \right)'= \frac{ \frac{\sqrt{ a+x }}{-2\sqrt{ a-x }}- \frac{\sqrt{ a-x }}{2\sqrt{ a+x }} }{a+x}=\frac{ \frac{\sqrt{ a+x }}{-\sqrt{ a-x }}- \frac{\sqrt{ a-x }}{\sqrt{ a+x }} }{2(a+x)}=\frac{ \frac{ (a+x)+ (a-x)}{ -\sqrt{a^2-x^2} } }{2(a+x)}=\frac{ a}{ -\sqrt{a^2-x^2}(a+x) }\)
mają , kurczę, racje !

[jola]

\(( \frac{\sin \alpha }{ \alpha } + \frac{ \alpha }{\sin \alpha } )'= \frac{ \alpha \cdot \cos \alpha -\sin \alpha }{ \alpha ^2} + \frac{\sin \alpha - \alpha \cdot \cos \alpha }{\sin^2 \alpha } = \frac{ \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin^2\alpha -\sin^3 \alpha + \alpha ^2 \cdot \sin \alpha - \alpha ^3 \cdot \cos \alpha }{ \alpha ^2 \cdot \sin^2 \alpha }=\\= \frac{ \alpha \cdot \cos \alpha \cdot (\sin^2 \alpha - \alpha ^2)-\sin \alpha \cdot (\sin^2 \alpha - \alpha ^2)}{ \alpha ^2 \cdot \sin^2 \alpha } = \frac{(\sin^2 \alpha - \alpha ^2) \cdot ( \alpha \cdot \cos \alpha -\sin \alpha )}{ \alpha ^2 \cdot \sin^2 \alpha }\)

[anilina]

hmm,a w tym zadaniu 5 też właśnie otrzymałam w mianowniku \(cos^8x\),ale ich wynik to: \(y'= \frac{7sin^3x}{cos^2x}\) ii stąd moje pytanie,czy można przyjąć, że "się walnęli"?

[anilina]

ii jeszcze pytanie do zad 3, chodzi mi o to,że np dlaczego pochodna \(sin \alpha \cdot (\alpha )'=sin \alpha\) ,a nie 0? bo ja myślałam, że \(\alpha\) jest stałą,więc pochodna z niej =0 i właśnie tego nie mogę ogarnąć

hmm..albo chyba wiem.. chodzi o to,że alfa to jest tak jakby nasz "x",więc jest zmienną,a pochodna ze zmiennej w tym wypadku=1

[domino21]

tak, tutaj \(\alpha\) jest zmienną, gdyby tak nie było, to cała funkcją byłaby stałą, dodatkowo \((\sin \alpha)' =0\)

czyli alfę traktujesz jak x