Ciąg rekurencyjny \(x_1=4, x_{n+1}= \frac{2}{3}x_n + 2\) dla \(n \ge 1\)
Znaleźć jego granicę i pokazać, że ten ciąg jest zbieżny.
Ciąg rekurencyjny - sprawdzanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: Ciąg rekurencyjny - sprawdzanie
\(x_1=4
x_2=\frac{2}{3}x_1+2
x_3=\frac{2}{3}x_2+2=\frac{2}{3}\(\frac{2}{3}x_1+2\)+2=\(\frac{2}{3}\)^2x_1+2\cdot \frac{2}{3}+2
x_4=\frac{2}{3}x_3+2=\frac{2}{3}\(\(\frac{2}{3}\)^2x_1+2\cdot \frac{2}{3}+2\)+2=\(\frac{2}{3}\)^3x_1+2\cdot \(\frac{2}{3}\)^2+2\cdot\frac{2}{3}+2
\vdots
x_n=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+2\cdot \(\frac{2}{3}\)^{n-2}+2\cdot \(\frac{2}{3}\)^{n-3}+...+2\cdot \frac{2}{3}+2=
=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+2\[\(\frac{2}{3}\)^{n-2}+\(\frac{2}{3}\)^{n-3}+...+\frac{2}{3}+1\]=
=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+2\cdot\frac{1-\(\frac{2}{3}\)^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+6\cdot\(1-\(\frac{2}{3}\)^{n-1}\)=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}(x_1-6)+6=
=\fbox{6-2\cdot\(\frac{2}{3}\)^{n-1}}
\lim_{n\to\infty}6-2\cdot\(\frac{2}{3}\)^{n-1}=6-0=6\)
x_2=\frac{2}{3}x_1+2
x_3=\frac{2}{3}x_2+2=\frac{2}{3}\(\frac{2}{3}x_1+2\)+2=\(\frac{2}{3}\)^2x_1+2\cdot \frac{2}{3}+2
x_4=\frac{2}{3}x_3+2=\frac{2}{3}\(\(\frac{2}{3}\)^2x_1+2\cdot \frac{2}{3}+2\)+2=\(\frac{2}{3}\)^3x_1+2\cdot \(\frac{2}{3}\)^2+2\cdot\frac{2}{3}+2
\vdots
x_n=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+2\cdot \(\frac{2}{3}\)^{n-2}+2\cdot \(\frac{2}{3}\)^{n-3}+...+2\cdot \frac{2}{3}+2=
=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+2\[\(\frac{2}{3}\)^{n-2}+\(\frac{2}{3}\)^{n-3}+...+\frac{2}{3}+1\]=
=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+2\cdot\frac{1-\(\frac{2}{3}\)^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}x_1+6\cdot\(1-\(\frac{2}{3}\)^{n-1}\)=\(\frac{2}{3}\)^{n-1}(x_1-6)+6=
=\fbox{6-2\cdot\(\frac{2}{3}\)^{n-1}}
\lim_{n\to\infty}6-2\cdot\(\frac{2}{3}\)^{n-1}=6-0=6\)