całki nieoznaczone

[anetaaneta1]

oblicz całki metodą podstawiania

a) \(\int \frac{5x}{\sqrt{1+x^{4}}} dx\)

b) \(\int \frac{\sqrt{1+lnx}}{xlnx} dx\)

c) \(\int \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}} dx\)

d) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}} dx\)

e) \(\int \frac{1}{sin^{2}x+2cos^{2}x} dx\)

Z góry wielkie dzięki

[anetaaneta1]

kurcze bardzo proszę niech ktoś rozwiąże mi te zadania będę bardzo wdzięczna

[radagast]

a)
\(\int \frac{5x}{\sqrt{1+x^{4}}} dx = \left(t=\sqrt{1+x^{4}}\\x= \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{1}{4}} \\ \frac{dx}{dt}= \frac{t}{2} \left(t^2-1 \right) ^{ -\frac{3}{4}} \right)= \int \frac{5\left(t^2-1 \right) ^{ \frac{1}{4}}}{t} \cdot \frac{t}{2} \left(t^2-1 \right) ^{ -\frac{3}{4}} dt = \frac{5}{2} \int \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{1}{4}} \cdot \left(t^2-1 \right) ^{ -\frac{3}{4}} dt=
\frac{5}{2} \int \left(t^2-1 \right) ^{- \frac{1}{2}} dt=\frac{5}{2} \int \frac{1}{ \sqrt{t^2-1} } dt=
\frac{5}{2}arcosh t +C = \frac{5}{2} ln|t+\sqrt{t^2-1}|+C=
\frac{5}{2}arcosh \sqrt{1+x^{4}}+C=\frac{5}{2} ln|\sqrt{1+x^{4}}+x^{2}|+C\)

[radagast]

b)
\(\int \frac{\sqrt{1+lnx}}{xlnx} dx= \left( t=\sqrt{1+lnx}\\lnx=t^2-1\\x=e^{t^2-1}\\ \frac{dx}{dt}=2te^{t^2-1}= \right)=2\int \frac{t^2}{t^2-1}dt = 2\int 1+\frac{1}{(t-1)(t+1)}dt= 2\int 1+\frac{1}{2(t-1) }+\frac{1}{2(t+1)}dt=
sqrt{1+lnx}+ \frac{1}{2} ln|sqrt{1+lnx}-1|+\frac{1}{2} ln|sqrt{1+lnx}+1| +C\)