Obliczyć granice funkcji

[grzesiek1992]

1. \(\lim_{x\to 0} \frac{tgx-sinx}{x^3}\)

2. \(\lim_{x\to 0} \frac{ln(1+x)}{x}\)

3. \(\lim_{x\to \infty } \frac{2x+1}{2x-5}^x\)

4. \(\lim_{x\to e} \frac{lnx^3-3}{x-e}\)

[radagast]

1.
\(\lim_{x\to 0} \frac{tgx-sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{tgx-sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{sinx}{cosx} -sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x} \cdot \frac{ \frac{1}{cosx} -1}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{ 1-cosx}{x^2cosx}=
\lim_{x\to 0} \frac{ 1-cos^2x}{x^2cosx(1+cosx)}= \lim_{x\to 0} \frac{ sin^2x}{x^2cosx(1+cosx)}=\lim_{x\to 0} \frac{ 1}{cosx(1+cosx)}= \frac{1}{2}\)

no i wyszło

[radagast]

2.
\(\lim_{x\to 0} \frac{ln(1+x)}{x}=^H \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1}{x+1} }{1}=1\)

To jest trochę nieelegancko (bo z reguły de l'Hospitala) ale krótko . Może być?

[grzesiek1992]

Niestety, reguły de l'Hospitala jeszcze nie znam, a granicę muszę policzyć. Da radę jakoś inaczej?

[radagast]

Zgaduję , ze miało być tak:

3.
\(\lim_{x\to \infty } \left( \frac{2x+1}{2x-5}\right) ^x\) i wtedy :
\(\lim_{x\to \infty } \left( \frac{2x+1}{2x-5}\right) ^x=\lim_{x\to \infty } \left( 1+\frac{6}{2x-5}\right) ^x= \left[2x-5=t\\x= \frac{t+5}{2} \right]=\lim_{t\to \infty } \left( 1+\frac{6}{t}\right) ^{ \frac{t+5}{2}}= \left(e^6 \right)^{ \frac{1}{2}}=e^3\)

[radagast]

Niestety, reguły de l'Hospitala jeszcze nie znam, a granicę muszę policzyć. Da radę jakoś inaczej?

Musi się dać ale to potem , bo idę zrobić obiad

[radagast]

2.
\(\lim_{x\to 0} \frac{ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} ln(1+x)=\lim_{x\to 0} ln(1+x)^{ \frac{1}{x}}= \left[ \frac{1}{x}=t\\ \lim_{x\to 0}t= \infty \right] =\lim_{t\to \infty } ln \left( (1+ \frac{1}{t} )^{ t}\right) =lne=1\)

No i wyszło