forum.zadania.info

Wykazać, że dla dowolnego \(n \in N\) liczba postaci
1. \(3^{4n+2}+1\) jest podzielna przez 10
2.\(n^{3}-n\) jest podzielna przez 6
3.\(10^{n}-4\) jest podzielna przez 6
4.\(n^{3}+2n\) jest podzielna przez 3
5.\(3^{4n}-1\) jest podzielna przez 5
6.\(4^{2n}-1\) jest podzielna przez 3
7.\(5^{2n}-4\) jest podzielna przez 3
8.\(2^{6n}-1\) jest podzielna przez 7
9.\(n(2n^{2}-3n+1)\) jest wielokrotnością 6

To w gimnazjum uczą indukcji?

1.
\(3^{4n+2}+1\) jest podzielna przez 10

\(n=k\)
\(3^{4k+2}+1=10a \Rightarrow 3^{4k}= \frac{10a-1}{9}\)
gdzie \(a\in N\)


\(n=k+1\)
\(3^{4(k+1)+2}+1=3^{4k + 6}+1=10b\)

\(L=3^{4k+6}+1=3^6 \cdot 3^{4k}+1=3^6 \cdot \frac{10a-1}{9}+1=3^4 \cdot 9 \cdot \frac{10a-1}{9}+1=\\3^4 \cdot (10a-1)+1=3^4 \cdot 10a-3^4+1=3^4 \cdot 10a-3^4+1=3^4 \cdot 10a-80=10 \cdot (3^4a-8)=10b=P\)
gdzie \(b=(3^4a-8)\)

3,4,5,6,7,8 - wzoruj się na 1.

anka pisze:To w gimnazjum uczą indukcji?

nie, ale gimnazjalista wie , że \(3^{4n+2}+1= 9 \cdot 81^{n}+1\)
I wie , że jak liczba ma na końcu 0 to sie dzieli przez 10

Oczywiście o 4 rano to on może tego nie wiedzieć ....

Ale tytuł topiku to Indukcja matematyczna i jest w dziale Strona główna ‹ Gimnazjum ‹ Pomocy! - różne

Ale w poleceniu tego nie ma. Nie dajmy się zwieźć tytułom !

A jak bez indukcji udowodnić 8 (podzielność przez 7)?

Nie wiem (o nie znaczy, że się nie da)

Jednak wiem:
8.\(2^{6n}-1=8^{2n}-1=(8^n)^2-1=(8^n-1)(8^n+1)=*\)
zajmę się teraz tylko jednym z czynników:
\(8^n-1=
8 \cdot 8^{n-1}-1=
7 \cdot 8^{n-1}+8^{n-1} -1=
7 \cdot 8^{n-1}+8 \cdot 8^{n-2} -1=
7 \cdot 8^{n-1}+7 \cdot 8^{n-2}+8^{n-2} -1=\)
itd aż do
\(7 \cdot 8^{n-1}+7 \cdot 8^{n-2}+7 \cdot 8^{n-3} + ... +(8-1)\)
Jak widać wszystkie składniki dzielą się przez 7 zatem cały czynnik dzieli się przez 7.
A więc \(*=7k(8^n+1)\)
CBDO
Można oczywiście zastosować wzór na różnicę n-tych potęg ale gimnazjalista go nie zna.
Zdaję sobie sprawę z tego, ze to raczej nadaje się na kółko, a nie na lekcję ale może być dla gimnazjalisty (zdolnego)