nierówność pomiędzy średnimi
: 16 paź 2011, 01:59
Jak udowodnić, że srednia harmoniczna jest niewiększa od geometrycznej?
\(\frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} } \le \sqrt{ab}\)
\(\frac{2}{ \frac{b}{ab}+ \frac{a}{ab} } \le \sqrt{ab}\)
\(\frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab}\)
\(2ab \le \sqrt{ab}(a+b)\ / \cdot \sqrt{ab}\)
(\(a,b \neq\)0 i \(ab > 0\) inaczej pod pierwiastkiem byłaby liczba ujemna)
\(2ab \sqrt{ab} \le ab(a+b)\ /:ab\)
\(2 \sqrt{ab} \le a+b\)
\(a+b-2 \sqrt{ab} \ge 0\)
\(( \sqrt{a}- \sqrt{b} )^2 \ge 0\)