liczby zespolone-wzór Moivre'a

[malineczka8888]

Oblicz:
a)\((1-i)^{10}\)
a)\(( -\sqrt{3}-i)^8\)
c)\((1- \sqrt{3}i)^{12}\)

[domino21]

a.
\((1-i)=\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} +i \sin \frac{3\pi}{4})
(1-i)^{10} =2^5(\cos \frac{30\pi}{4} + i\sin \frac{30\pi}{4})=32(0-i)=-32i\)

[domino21]

b.
\((\sqrt{3}-i)=2(\cos \frac{11\pi}{6} +i \sin \frac{11\pi}{6})
(\sqrt{3}-i)^8 =2^8(\cos \frac{88\pi}{6} + i \sin \frac{88\pi}{6})=256(-\frac{1}{2} +i \frac{\sqrt{3}}{2})=128(-1+i\sqrt{3})\)

[domino21]

\((1-\sqrt{3}i)=2(\cos \frac{5\pi}{3}+i \sin \frac{5\pi}{3})
(1-\sqrt{3}i)^{12}=2^{12}(\cos \frac{60\pi}{3} +i \sin \frac{60\pi}{3})=2^{12}\)

[malineczka8888]

Możesz mi wytłumaczyć skąd się wzięło w przykładzie a 3/4 pi??

[domino21]

a.
\(1-i =\sqrt{2}(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}i)\)

szukamy takiego kąta \(\varphi \in <0,2\pi>\) dla którego \(\cos \varphi =\frac{1}{2}\) oraz \(\sin \varphi =-\frac{1}{2}\)

własnie stąd \(\varphi =\frac{3\pi}{4}\)

[malineczka8888]

no ale przecież zgodnie z |z|=\(\sqrt{2}\) cos=\(\frac{ \sqrt{2} }{2}\) a sinus=\(- \frac{ \sqrt{2} }{2}\)...

[malineczka8888]

aha już wiem... skąd odczytujesz takie wysokie wartości jak \(\frac{11}{6} \pi\)?????

[malineczka8888]

W punkcie b nastąpiła pomyłka. Przed \(\sqrt{3}\) miał być minus. Jak odnaleźć miarę kąta dla którego \(sin \alpha =- \frac{1}{2}\) a \(cos \alpha = -\frac{ \sqrt{3} }{2}\)??

[domino21]

czemu dla Ciebie \(\frac{11\pi}{6}\) to `wysoka wartość`?
przecież ona jest z przedziału \(<0,2\pi)\)

[malineczka8888]

no bo na tablicach trygonometrycznych nie ma wartości sinusa i cosinusa dla tej miary....

[domino21]

\(\sin \alpha =-\frac{1}{2}
\cos\alpha= -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ze słynnego wierszyka wiemy, że kąt leży w III ćwiartce

\(tg \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\alpha = \frac{\pi}{6} +k \pi , \ k\in C\)

jeżeli kąt ma być w III ćwiartce, to
\(\alpha=\frac{\pi}{6} +\pi =\frac{7\pi}{6}\)

[domino21]

no bo na tablicach trygonometrycznych nie ma wartości sinusa i cosinusa dla tej miary....

zależy jakich tablic używasz

najlepiej odczytywać z wykresu

[malineczka8888]

\((- \sqrt{3}-i)^8=2^8 (cos \frac{56\pi }/{6} +isin \frac{56 \pi }{6})=256( \frac{28 \pi }{3}+isin \frac{28 \pi }{3})\)i teraz jaki mam okres wyznaczyć do sinusa i cosinusa?? bo \(13 \pi i 9 \pi\)jest niemożliwe skoro okres to 2k \(\pi\) gdzie k należy do całkowitych... no i gdzie tkwi błąd??

[domino21]

\((-\sqrt{3}-i)^8 =2^8 (\cos \frac{8 \cdot 7\pi}{6} +i \sin \frac{8 \cdot 7\pi}{6})=256(\cos \frac{28\pi}{3} + i \sin \frac{28\pi}{3})=256[\cos (8\pi + \frac{4}{3} \pi) + i \sin (8\pi + \frac{4}{3} \pi)]=
256(\cos \frac{4}{3} \pi +i \sin \frac{4}{3} \pi)=256(-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} i)=128(-1-\sqrt{3}i)\)