Liczby zespolone podniesienie do potegi

[mbw]

Liczy zespolone
Jak zrobic taki przyklad, i oglnie jak sie robi takie przyklady jak sie podnosi do tak duzej potegi

\((3\sqrt{3} - 3i)^{18}\)

[radagast]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre%27a

A w Twoim przykładzie :

\((3\sqrt{3} - 3i)^{18}=
\left[ 6( \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2} i)\right]^{18}=
\left[6(cos30^ \circ -isin30^ \circ ) \right]^{18}=
6^{18}(cos(18 \cdot 30^ \circ) -isin(18 \cdot 30^ \circ) )=
6^{18}(cos(540^ \circ ) -isin(540^ \circ ) )=
6^{18}(cos(180^ \circ ) -isin(180^ \circ ) )=
-6^{18}\)

[octahedron]

Wzór de Moivre'a:

\(\[r(\cos \varphi+i\sin\varphi)\]^n=r^n\(\cos n\varphi+i\sin n\varphi\)\)

\(z=3\sqrt{3} - 3i
\mbox{tg}\varphi=\frac{-3}{3\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}
\varphi=-\frac{\pi}{6}
r=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=6
\(3\sqrt{3} - 3i\)^{18}=\[6\(\cos\(-\frac{\pi}{6}\)+i\sin\(-\frac{\pi}{6}\)\)\]^{18}=6^{18}\[\cos\(-\frac{18\pi}{6}\)+i\sin\(-\frac{18\pi}{6}\)\]=
=6^{18}\[\cos(-3\pi)+i\sin(-3\pi)\]=6^{18}[\cos\pi+i\sin\pi]=-6^{18}\)