Rozwiąz rownania w zbiorze liczb zespolonych:
\(z^2 + (3+2i)z - 7 + 17i = 0\)
liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(z^2+3+2i)z-7+17i=0\\\Delta=(3+2i)^2-4(-7+17i)=9+4i^2+12i+28-68i=33-56i\)
\(\sqrt{\Delta}=a+bi\\(a+bi)^2=33-56i\\a^2+2abi+b^2i^2=33-56i\\(a^2-b^2)+2abi=33-56i\\\{a^2-b^2=33\\2ab=-56\)
\(b=-\frac{28}{a}\\a^2-\frac{784}{a^2}=33\\a^4-33a^2-784=0\\\Delta_1=1089+3136=4225\\\sqrt{\Delta_1}=65\\a_1^2=\frac{33-65}{2}<0\ \vee\ a_2^2=\frac{33+65}{2}=49\\a=7\ \vee\ a=-7\)
\(\{a=7\\b=-4\) lub \(\{a=-7\\b=4\)
\(\sqrt{\Delta}=7-4i\ \ \vee\ \ \sqrt{\Delta}=-7+4i\)
\(z_1=\frac{-3-2i-7+4i}{2}=-5+i\ \ \vee\ \ z_2=\frac{-3-2i+7-4i}{2}=2-3i\)
\(\sqrt{\Delta}=a+bi\\(a+bi)^2=33-56i\\a^2+2abi+b^2i^2=33-56i\\(a^2-b^2)+2abi=33-56i\\\{a^2-b^2=33\\2ab=-56\)
\(b=-\frac{28}{a}\\a^2-\frac{784}{a^2}=33\\a^4-33a^2-784=0\\\Delta_1=1089+3136=4225\\\sqrt{\Delta_1}=65\\a_1^2=\frac{33-65}{2}<0\ \vee\ a_2^2=\frac{33+65}{2}=49\\a=7\ \vee\ a=-7\)
\(\{a=7\\b=-4\) lub \(\{a=-7\\b=4\)
\(\sqrt{\Delta}=7-4i\ \ \vee\ \ \sqrt{\Delta}=-7+4i\)
\(z_1=\frac{-3-2i-7+4i}{2}=-5+i\ \ \vee\ \ z_2=\frac{-3-2i+7-4i}{2}=2-3i\)