Czy ktoś wie jak zrobić takie zadania?
1. Wykaż, że każde z działań: min, max w zbiorze liczb rzeczywistych jest rozdzielne względem drugiego.
2. Działanie \(\circ\) określone w niepustym zbiorze X ma własność: dla dowolnych a,b\(\in\)X zachodzi \(a \circ (b \circ a)=b\). Wykaż, że spełnia ono warunek \((a \circ b) \circ a=b.\)
Z góry dziękuję za jakiekolwiek wskazówki.
ciała
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
Oznaczmy te działania literami m i M.
W pierwszym trzeba sprawdzić, że
\(a m (b M c) = (a m b) M (a m c)\), czyli \(\min\{a,\max\{b,c\}\}=\max\{\min\{a,b\},\min\{a,c\}\)
Wystarczy na przykład rozważyć sześć możliwych uporządkowań liczb \(a, b, c\).
Podobnie z drugą rozdzielnością. W zasadzie wystarczy zamienić m i M.
2.
Z podanej własności przez podstawienie \(a=b, b=a\) mamy
\(a=b\circ(a\circ b)\) a zatem
\((a\circ b)\circ a= (a\circ b)\circ \left(b\circ(a\circ b)\right)\). Teraz używając danej własności dla
\(a=(a\circ b)\) i \(b=b\) widzimy, że prawa strona jest równa \(b\).
Niektórym pomaga napisanie danej w zadaniu własności innymi literami np. \(c\circ(d\circ c)=d\).
escher
W pierwszym trzeba sprawdzić, że
\(a m (b M c) = (a m b) M (a m c)\), czyli \(\min\{a,\max\{b,c\}\}=\max\{\min\{a,b\},\min\{a,c\}\)
Wystarczy na przykład rozważyć sześć możliwych uporządkowań liczb \(a, b, c\).
Podobnie z drugą rozdzielnością. W zasadzie wystarczy zamienić m i M.
2.
Z podanej własności przez podstawienie \(a=b, b=a\) mamy
\(a=b\circ(a\circ b)\) a zatem
\((a\circ b)\circ a= (a\circ b)\circ \left(b\circ(a\circ b)\right)\). Teraz używając danej własności dla
\(a=(a\circ b)\) i \(b=b\) widzimy, że prawa strona jest równa \(b\).
Niektórym pomaga napisanie danej w zadaniu własności innymi literami np. \(c\circ(d\circ c)=d\).
escher