dwumian newtona

[9hubert9]

Korzystając z wzoru dwumianowego newtona obliczyć sumy:
a) \(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\)
b) \(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\) \(2^{k}\)
c) \(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}\)

Jeśli ktoś wie jak to zrobić będę wdzięczny. . Ja osobiście nie mam pojęcia jak za to się zabrać dlatego pisze tu tego swojego 1 posta.

[anka]

a)
\(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\)

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \; {n \choose k} a^{n-k}b^k\)

\(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k} \cdot 1^k=(1+1)^n=2^n\)

[anka]

b)
\(\sum_{k=0}^{n}\)\({n \choose k}\) \(2^{k}\)

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \; {n \choose k} a^{n-k}b^k\)

\(\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 2 ^{k}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1 ^{n-k}2 ^{k} = (1+2) ^{n} = 3 ^{n}\)

[anka]

c)
\(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}\)

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \; {n \choose k} a^{n-k}b^k\)

\(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1 ^{n-k}(-1) ^{k} = (1-1) ^{n} = 0\)

[9hubert9]

dzięki wielkie!!! oczywiście podziękowania