forum.zadania.info

Proszę o pomoc w znalezieniu funkcji odwrotnej do

\(f(x) = \frac{{e^x - e^{-1}}}{{e^x + e^{-1}}}\)

dziękuję

\(\frac{e^x-\frac{1}{e}}{e^x+\frac{1}{e}}=y\)
Obliczasz z tego równania x,a potem zamieniasz nazwy zmiennych x na y ,zaś y na x.
\(\frac{e^{x+1}-1}{e^{x+1}+1}=y\\
y\cdot e^{x+1}+y=e^{x+1}-1\\
ye^{x+1}-e^{x+1}=-1-y\\
e^{x+1}(y-1)=-1-y\\
e^{x+1}= \frac{-1-y}{y-1}\\
e^{x+1}= \frac{1+y}{1-y}\)
Definicja logarytmu naturalnego:
\(x+1=ln\frac{1+y}{1-y}\\
x= ln \frac{1+y}{1-y}-1\)
\(f^{-1}(x)=ln \frac{1+x}{1-x}-1\)

\(\frac{{e^x - e^{-1}}}{{e^x + e^{-1}}}=y\\
\frac{\frac{e^{x+1}-1}{e}}{\frac{e^{x+1}+1}{e}}=y\\
\frac{e^{x+1}-1}{e^{x+1}+1}=y\\
y(e^{x+1}+1)=e^{x+1}-1\\
ye^{x+1}+y=e^{x+1}-1\\
ye^{x+1}-e^{x+1}=-1-y\\
e^{x+1}(y-1)=-1-y\\
e^{x+1}=\frac{-1-y}{y-1}\\
x+1=\ln \frac{1+y}{1-y}\\
x=\ln \frac{1+y}{1-y}-1\)

odp. b