forum.zadania.info

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg geometryczny . Oblicz sinus jednego z kątów ostrych.
Z góry Dziękuję

a, b- przyprostokątne
c- przeciwprostokątna
(a, b, c)- ciąg geometryczny

\(b=aq\\c=aq^2\\a^2+(aq)^1=(aq^2)^2\\a^2+a^2q^2=a^2q^4\\/:a^2\\q^4-q^2-1=0\\\Delta=1+4=5\\q^2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\ \vee\ q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(sin\alpha=\frac{a}{c}=\frac{a}{aq^2}=\frac{1}{q^2}\\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\ \cdot\ \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

Mam pytanie odnosnie tego zadania. Jestem w trakcie rozwiazywania tego zadania i trojkat prostokatny namalowalem tak ze b ( przyprostokatna pozioma), a( przyprostokatna pionowa) i rozwiazuje tak samo i to co CI wyszlo sin ja mam jako cos.
I chcesz potem liczyc z jedynki trygonometrycznej ale inny wynik wychodzi

Jeśli to, co ja oznaczyłam jako sinus, Ty masz jako cosinus tego kąta, to:
\(sin^2\alpha=1-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=1-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{4-6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}\\sin\alpha=\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-1}{4}}=\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-1}}{2}\)

\(sin^2\alpha+cos^2\alpha=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}+\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{2\sqrt{5}-2+6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{4}{4}=1\)

I wszystko się zgadza.

A co jeżeli \(q\) jest mniejsze od \(1\)? Wtedy \(a\) powinno być przeciwprostokątną, natomiast \(aq^2\) oraz \(aq\), przyprostokątnymi.

irena pisze: ↑02 paź 2011, 21:19 a, b- przyprostokątne
c- przeciwprostokątna
(a, b, c)- ciąg geometryczny

\(b=aq\\c=aq^2\)

gdzie \(q>1\)

Bosswello pisze: ↑09 paź 2021, 20:26 A co jeżeli \(q\) jest mniejsze od \(1\)?

Wtedy (c, b, a)- ciąg geometryczny
\(b={c q}\\a={c q^2}\)
i ciąg dalszy oraz odpowiedź niezmienne

Pozdrawiam