indukcja, ćwiecznie

[MrVonzky]

Indukcyjnie udowodnić:

\(2^n>n\)
to tak naprawdę muszę udowodnić, że

\(2^{n+1}>n+1\)
\(2^n 2>n+1\)
z założenia \(2^n>n\) więc pozostaje mi \(2>1\) co jest prawdą... nie wiem czy dobrze to robię...

i kolejny przykład

\(\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } \ge \sqrt{n}\)

[anka]

Znalazłam to z pierwiastkami:
http://www.matematyka.pl/162314.htm#p604997

[octahedron]

z założenia \(2^n>n\) więc pozostaje mi \(2>1\) co jest prawdą... nie wiem czy dobrze to robię...

\(2\cdot 2^n>2\cdot n=n+n>n+1\)

[MrVonzky]

to w takim razie mam pytanie:

jest przykład:

założenie \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)
teza \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)

i analogicznie do tego linka co podałaś: zauważam, że skoro pierwsza nierówność jest prawdziwa, więc gdy dodam do niej z lewej strony wyrażenie \(\frac{1}{(n+1)^2}\) a z prawej \(\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}\) to otrzymam tezę. Więc wystarczy sprawdzić to co dodaję czy jest prawdą, mianowicie:

\(\frac{1}{(n+1)^2} \le \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}\)
.
.
.
a to po rozwiązaniu jest prawdą, więc teza jest prawdziwa ... może tak być?

[anka]

Nie można dodawać do obu stron nierówności różnych wartości
przykładowo mamy
\(x<6\)
dodaję do lewej strony \(2\) do prawej \(3\)
mam:
\(x+2<6+3\)
\(x<7\)

mam dwa różne rozwiązania.

Chyba, że źle rozumuję.

[MrVonzky]

wzorowałem się na tym co pokazałaś ... no to nie wiem już

[anka]

Mój błąd, nie analizowałam rozwiązania z linka.

Potrzebny jest ktoś mądrzejszy ode mnie do odpowiedzi na to pytanie.

[MrVonzky]

czyli tamto rozwiązanie również jest nieporawne?

[anka]

Sam nie wiem.
Z drugiej strony jeżeli x<6, to jest też <7.

Wrzuciłam linka na gadulec, może jutro ktoś się na ten temat wypowie.
Prawdę mówiąc, pierwszy raz spotkałam się z takim sposobem dowodzenia.

[MrVonzky]

http://matma4u.pl/topic/33659-indukcja- ... ierownosc/ a on nie rozwiązuje również dodając?

[MrVonzky]

ok

[MrVonzky]

nie mam pojęcia jak to zrobić

[anka]

Poczekaj do jutra. Może zajrzy tu ktoś bardziej rozgarnięty ode mnie.

A w linku, który podałeś, do obu stron dodano to samo.

[MrVonzky]

to też nie wiem jak ugryść
\(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}<1\)

po edycji, dzięki za zauważenie, już trochę późno... mam udownodnić indukcyjnie

[anka]

To jakaś suma, co masz z nią zrobić?