znaleźć współczynnik stojący przy...

[MrVonzky]

znaleźć współczynnik stojący przy wyrazie \(x^{15}\) w dwumianie Newtona \((2x^3+2)^8\)

Jaki jest przepis na takieg typu zadania?

[kamil13151]

\((2x^3+2)^8=256(x^3+1)^8\) i użyj dwumianu Newtona.

[MrVonzky]

chodzi o trójkącik czy ten wzór z sigmą?

[kamil13151]

Wzór z sigmą.

[anka]

\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (a^{n-k}\cdot\ b^k)\)

Przepis:
najpierw pozbywamy się współczynnika liczbowego przed \(x\) (dla ułatwienia obliczeń)
\((2x^3+2)^8=256(x^3+1)^8\)

Zajmieny się najpierw \((x^3+1)^8\)

Dwumian Newtona
\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (a^{n-k}\cdot\ b^k)\)
U nas \(a=x^3,b=1,n=8\)

\((x+2)^8=\sum_{k=0}^{8} {8 \choose k} (x^{3(8-k)}\cdot\ 1^k)\)

Ponieważ interesuje nas współczynnik przy \(x^{15}\), więc
\(x^{3(8-k)}=x^{15}\)
\(3(8-k)=15\)
\(k=3\)
czyli

\({8 \choose k}={8 \choose 3}=56\)

zatem współczynnik przy \(x^{15}\) jest równy \(256 \cdot 56=14336\)

[MrVonzky]

a wymyśliłem sobie jeszcze takie dwa przykłady... możecie je rozwiązać, będzie mi łatwiej z analizą po większej ilości przykładów.

Znajdź wpsółczynnik przy \(x^{12}\)w dwumianie Newtona \((3x^3+8)^{13}\) lub \((3x^3+x^{-4})^{14}\)

[kamil13151]

\((3x^3+8)^{13}=\sum_{k=0}^{13} {13 \choose k} ((3x^3)^{(13-k)}\cdot\ 8^k)\)

\((3x^3)^{(13-k)}=ax^{12}\)
\(13-k=4\)
\(9=k\)

\({13 \choose 9} ((3x^3)^{(4)}\cdot\ 8^9)=715 \cdot 81x^{12} \cdot 134217728=7773219717120x^{12}\)

[anka]

\((3x^3+x^{-4})^{14}\)

Dobrze spisałeś ten przykład?
Tam nie będzie wyrazu o wykładniku 12.

[MrVonzky]

sam go wymyśliłem, także możliwe...możesz stworzyć przykład sama i go rozwiązać? Ułatwi mi to zrozumienie tego :*

[anka]

Może być ten wyżej tylko inny wykładnik. Czyli szukam współczynnika przy \(x^7\)

\((3x^3+x^{-4})^{14}=\sum_{k=0}^{14} {14 \choose k} [(3x^3)^{(14-k)}\cdot (x^{-4})^{k}]\)

\((3x^3)^{14-k}(x^{-4})^{k}=ax^7\)

\(3^{14-k}x^{42-7k}=ax^7\)

\(42-7k=7\)
\(k=5\)

czyli:
\({14 \choose k} [(3x^3)^{(14-k)}\cdot (x^{-4})^{k}={14 \choose 5} [(3x^3)^{(14-5)}\cdot\ (x^{-4})^{5}=\\2002 \cdot 3^9x^{7}=2002 \cdot 19683x^7=39405366x^7\)