Metodą indukcji uzasadnić nierówności:
a) \(2^n>n^2 dla n \ge 5\)
b) \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)
c) \(n!>2n dla n \ge 4\)
d) \(n!< (\frac{n}{2})^n dla n \ge 6\)
indukcja matematyczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
a)
tu masz inną wersję rozwiązania
http://www.matematyka.pl/247169.htm#p926532
http://www.matematyka.pl/236318.htm#p879635
b)
http://www.matematyka.pl/240614.htm#p898959
tu masz inną wersję rozwiązania
http://www.matematyka.pl/247169.htm#p926532
http://www.matematyka.pl/236318.htm#p879635
b)
http://www.matematyka.pl/240614.htm#p898959
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
c) rzeczywiście wygląda na źle przepisane ale co tam:
dla n=4:
\(4!=4 \cdot 3 \cdot 2>2 \cdot 4\) -prawda
zał ind. :istnieje n t. ze \(n!>2n\)
pokażemy, ze \((n+1)!>2(n+1)\) :
\((n+1)!=(n+1)n!>^{zal\ ind}(n+1) \cdot 2n>2(n+1)\)
zatem , na mocy zasady indukcji nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(n \ge 4\)
CBDO
dla n=4:
\(4!=4 \cdot 3 \cdot 2>2 \cdot 4\) -prawda
zał ind. :istnieje n t. ze \(n!>2n\)
pokażemy, ze \((n+1)!>2(n+1)\) :
\((n+1)!=(n+1)n!>^{zal\ ind}(n+1) \cdot 2n>2(n+1)\)
zatem , na mocy zasady indukcji nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(n \ge 4\)
CBDO
-
MrVonzky
- Stały bywalec
- Posty: 422
- Rejestracja: 10 lis 2009, 18:47
- Podziękowania: 94 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: indukcja matematyczna
mam pytanie czy zrobiłem ten przykład c dobrze.
\(n! > 2^n\) dla \(n>3\)
zakładam, że n jest prawdziwe dla każdej l.n \(n=k\)
\(k!>2^k\)
zakładam, że twierdzenie jest poprawne dla następnika l.n\(n=k+1\)
\((k+1)!>2^{k+1}\)
\(k!(k+1)>2^k2\)
z założenia wiem, że \(k!>2^k\) więc pozostaje udowodnić
\((n+1)>2\) a to jest prawdą dla \(n>3\)
Na zasadzie indukcji matematycznej twierdzenie to jest prawdziwe.
\(n! > 2^n\) dla \(n>3\)
zakładam, że n jest prawdziwe dla każdej l.n \(n=k\)
\(k!>2^k\)
zakładam, że twierdzenie jest poprawne dla następnika l.n\(n=k+1\)
\((k+1)!>2^{k+1}\)
\(k!(k+1)>2^k2\)
z założenia wiem, że \(k!>2^k\) więc pozostaje udowodnić
\((n+1)>2\) a to jest prawdą dla \(n>3\)
Na zasadzie indukcji matematycznej twierdzenie to jest prawdziwe.