macierz digonalna

[anetaaneta1]

W przestrzeni wektorowej V nad ciałem C liczb zespolonych dana jest baza \((v_1,v_2,v_3)\). przekształcenie liniowe \(f:V-->V\) ma w tej bazie macierz
\(A=\begin{bmatrix}i& 0&0 \\ 0&1&-1\\0&1&1 \end{bmatrix}\)
a) wyznaczyć obraz f(v) dowolnego wektora \(v\in V\)
b) czy istnieje baza w przestrzeni wektorowej V w której macierz przekształcenia f ma macierz diagonalną ? Jeżeli taka baza istnieje to wskazać tę bazę

[octahedron]

\(a)
v=[\alpha,\beta,\gamma]
f(v)=\begin{bmatrix}i& 0&0 \\ 0&1&-1\\0&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}=[\alpha i,\beta-\gamma,\beta+\gamma]=\alpha iv_1+(\beta-\gamma)v_2+(\beta+\gamma)v_3
b)
W(\lambda)=\det\begin{bmatrix}i-\lambda& 0&0 \\ 0&1-\lambda&-1\\0&1&1-\lambda \end{bmatrix}=(i-\lambda)((1-\lambda)^2+1)=(i-\lambda)((1-\lambda)^2-i^2)=
=(i-\lambda)(1-i-\lambda)(1+i-\lambda)=0
\lambda_1=i
\begin{bmatrix}0& 0&0 \\ 0&1-i&-1\\0&1&1-i \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases}0=0\\(1-i)\beta-\gamma=0\\\beta+(1-i)\gamma=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\alpha=1\\ \beta=0\\\gamma=0\end{cases} \Rightarrow u_1= \begin{bmatrix}1\\0\\0 \end{bmatrix}
\lambda_2=1-i
\begin{bmatrix}2i-1& 0&0 \\ 0&i&-1\\0&1&i \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases}(2i-1)\al
pha=0\\i\beta-\gamma=0\\\beta+i\gamma=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\alpha=0\\ \beta=1\\\gamma=i\end{cases} \Rightarrow u_2= \begin{bmatrix}0\\1\\i \end{bmatrix}
\lambda_3=1+i
\begin{bmatrix}-1& 0&0 \\ 0&-i&-1\\0&1&-i \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases}-\alpha=0\\-i\beta-\gamma=0\\\beta-i\gamma=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\alpha=0\\ \beta=-1\\\gamma=i\end{cases} \Rightarrow u_3= \begin{bmatrix}0\\-1\\i \end{bmatrix}
A=\begin{bmatrix}i& 0&0 \\ 0&1&-1\\0&1&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i&0&0\\0&1-i&0\\0&0&1+i \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix}^{-1}
f(v)=A\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i&0&0\\0&1-i&0\\0&0&1+i \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix}^{-1}f(v)=\begin{bmatrix}i&0&0\\0&1-i&0\\0&0&1+i \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\alpha'\\\beta'\\\gamma' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&i&i \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha'\\\beta'\\\gamma' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma \end{bmatrix}
B=((1,0,0),(0,1,i),(0,-1,i))\)

[anetaaneta1]

a to nie bedzie baza złożona z wektorów własnych ???

a co tam dalej liczysz bo nie rozumiem tego za bardzo co tam jest policzone

[octahedron]

Zgadza się, pokręciło mi się, to będą wektory własne.
Dalej, czyli od którego miejsca ?

[anetaaneta1]

A=
f(v)=

[octahedron]

\(A=...\) tutaj jest diagonalizacja macierzy, zerknij tutaj (http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=36&t=26009), a \(f(v)=...\) to podstawienie \(A\) w postaci zdiagonalizowanej \(A=PDP^{-1}\) i przekształcenie wzoru, by macierz diagonalna \(D\) była macierzą przekształcenia:

\(f(v)=Av=\underbrace{PDP^{-1}}_{A}v \Rightarrow \underbrace{P^{-1}f(v)}_{g(v')}=D\underbrace{P^{-1}v}_{v'} \Rightarrow g(v')=Dv'\)

Przejście z bazy \((v_1,v_2,v_3)\) do \((v_1',v_2',v_3')\) następuje przez wymnożenie przez \(P\), jej kolumny są współrzędnymi nowych wektorów bazowych:

\(v_1'=v_1
v_2'=v_2+iv_3
v_3'=-v_2+iv_3\)