baza ortogonalna

[anetaaneta1]

Stosując proces ortogonalizacji Gama Schmidta do podprzestrzeni \(W=lin((1,1,1,1),(2,0,1,1),(5,1,1,5))\) przestrzeni unitarnej \(R^{4}\) z kanonicznym iloczynem skalarnym, wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni W. Znaleź rzut prostopadły w wektora v=[6,5,3,0] na podprzestrzeni W

Z góry dzięki

[octahedron]

\(u_1=(1,1,1,1)
u_2=(2,0,1,1)-\frac{\<(1,1,1,1),(2,0,1,1)\>(1,1,1,1)}{\<(1,1,1,1),(1,1,1,1)\>}=(2,0,1,1)-\frac{4(1,1,1,1)}{4}=(2,0,1,1)-(1,1,1,1)=(1,-1,0,0)
u_3=(5,1,1,5)-\frac{\<(1,1,1,1),(5,1,1,5)\>(1,1,1,1)}{\<(1,1,1,1),(1,1,1,1)\>}-\frac{\<(1,-1,0,0),(5,1,1,5)\>(1,-1,0,0)}{\<(1,-1,0,0),(1,-1,0,0)\>}=
=(5,1,1,5)-\frac{12(1,1,1,1)}{4}-\frac{4(1,-1,0,0)}{2}=(5,1,1,5)-(3,3,3,3)-(2,-2,0,0)=(0,0,-2,2)
W=\mbox{lin} ((1,1,1,1),(1,-1,0,0),(0,0,-2,2))
P_v=\frac{\<(6,5,3,0),(1,1,1,1)\>(1,1,1,1)}{\<(1,1,1,1),(1,1,1,1)\>}+\frac{\<(6,5,3,0),(1,-1,0,0)\>(1,-1,0,0)}{\<(1,-1,0,0),(1,-1,0,0)\>}+\frac{\<(6,5,3,0),(0,0,-2,2)\>(0,0,-2,2)}{\<(0,0,-2,2),(0,0,-2,2)\>}=
=\frac{14(1,1,1,1)}{4}+\frac{(1,-1,0,0)}{2}+\frac{-6(0,0,-2,2)}{8}=\frac{7}{2}(1,1,1,1)+\frac{1}{2}(1,-1,0,0)-\frac{3}{4}(0,0,-2,2)
P_v=\(4,3,5,2\) {\text w bazie standardowej}
P_v=\(\frac{7}{2},\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\) {\text w bazie ortogonalnej}\)

[anetaaneta1]

a mi \(v_3\) wyszło inne i niewiem gdzie mam błąd
\(v_3=[5,1,1,3]-\frac{<[5,1,1,3],[1,1,1,1]>}{\parallel v_1\parallel ^2} v_1-\frac{<w_3,v_3>}{\parallel v_2\parallel ^2}v_2=
[5,1,1,3]-\frac{<[5,1,1,3],[1,1,1,1]>}{4} [1,1,1,1]-\frac{<[5,1,1,3],[1,-1,0,0]>}{2}[1,-1,0,0]=
[5,1,1,3]-\frac{5}{2} [1,1,1,1]-2[1,-1,0,0]=
[\frac{1}{2},\frac{1}{2}, \frac{-3}{2}, \frac{1}{2}]\)

[octahedron]

Masz \([5,1,1,3]\) zamiast \([5,1,1,5]\)

[anetaaneta1]

aha dzięki
a jak się liczy \(<[5,1,1,3],[1,1,1,1]>\)
bo znalazłam na necie takie rozwiązanie ale nie wiem ja to wyliczone jest

[octahedron]

Iloczyn skalarny ma taki wzór:
\(u=[x_1,x_2,...,x_n]
v=[y_1,y_2,...,y_n]
\<uv\>=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\)

czyli

\(\<[5,1,1,3],[1,1,1,1]\>=10\)

[anetaaneta1]

a odnoście tego rzutu prostopadłego to z jakiego wzoru tam korzystasz ?
A jeszcze jedno pytanie różni się czymś baza ortogonalna od ortonormalnej ?

[octahedron]

Ze wzoru takiego: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ortogonali ... a-Schmidta. A baza ortonormalna to baza ortogonalna, której wektory mają długość \(1\), można ją otrzymać z bazy ortogonalnej, dzieląc każdy wektor przez jego długość