przekształcenia afiniczne

[saddamk666]

Witam, mam zagwostkę z takim oto zadaniem:

Znaleźć przekształcenia afiniczne przestrzeni E3, spełniające jeden z warunków:

a.) osie danego afinicznego układu współrzędnych są prostymi niezmienniczymi.
b.) punkty osi Ox3 są punktami stałymi.
c.) płaszczyzna Ox1x2 jest niezmiennicza.

Oprócz tego, moje pytanie brzmi: jaka jest różnica w sformułowaniu: punkty osi p (prostej p, płaszczyzny pi) są punktami stałymi, a prosta ta (odpowiednio płaszczyzna) jest prostą / płaszczczyną niezmienniczą (względem danego przekształcenia afinicznego). Jeżeli te fakty nie są równoważne, to jak przekłada się to na sposób rozwiązania powyższego problemu??

Będę bardzo wdzięczny za rozwiązaniu lub przynajmniej wskazówki i odpowiedź na to pytanie.

[irena]

a)
Przekształceniem tym może być symetria środkowa o środku we wspólnym punkcie tych osi.

b)
Symetria osiowa względem osi \(Ox_3\)

c)
Symetria względem dowolnej prostej leżącej na płaszczyźnie \(Ox_1Ox_2\)

[irena]

Jeśli punkty prostej k mają być punktami stałymi przekształcenia, oznacza to, że obrazem każdego punktu prostej k jest on sam.
Jeżeli prosta k jest niezmiennicza w przekształceniu, to obrazem prostej k jest ta prosta.

Różnica - jeśli prosta k jest niezmiennicza, to punkty tej prostej mogą nie być punktami stałymi. Ważne, żeby obrazem każdego punktu prostej k był też punkt prostej k, niekoniecznie ten sam punkt.

Przykład- obrazem prostej k względem symetrii środkowej o środku S, gdzie S należy do prostej k, jest ta sama prosta. Jest więc niezmienniczą prostą w tym przekształceniu. Jedynym stałym punktem tego przekształcenia jest punkt S.

Inny przykład - symetria względem prostej k. Prosta k jest niezmiennicza w tym przekształceniu. Punkty stałe tego przekształcenia to wszystkie punkty prostej k.

[saddamk666]

Dobrze, rozumiem. Teraz, przekształcenie afiniczne (w E3) ma postać \(\begin{cases} y^{1}= a_{1} x^{1}+ a_{2} x^{2}+ a_{3} x^{3}+ a_{4}\\ y^{2}= b_{1}x ^{1}+b _{2}x ^{2}+b _{3}x ^{3}+b _{4}\\y ^{3}=c _{1}x ^{1}+c _{2}x ^{2}+c _{3}x ^{3}+c _{4} \end{cases}\)
(Górne indeksy numerują współrzędne, natomiast dolne indeksy numerują współczynniki.) Ewentualnie macierzowo:


\(\left[\begin{array}{c} y^{1} \\y ^{2}\\y ^{3}\\1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} a _{1}&a _{2}&a _{3}&a _{4}\\b _{1}&b _{2}&b _{3}&b _{4}\\c _{1}&c _{2}&c _{3}&c _{4}\\0&0&0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x ^{1} \\x ^{2} \\x ^{3}\\1\end{array}\right]\)

Z tego co wiem, należy wykorzystać m.in. równanie parametryczne odpowiednich prostych / płaszczyzn.
Wstawiam więc:
\(a.)\\ 1.) Ox^{1}: x ^{1}=t, x ^{2}=0, x ^{3}=0, \\2.) Ox ^{2}: x ^{1}=0, x ^{2}=t, x ^{3}=0,\\ 3.) Ox ^{3}: x ^{1}=0, x ^{2}=0, x ^{3}=t.\)
Co wstawiać za y? Nie mogę wstawiać tych samych punktów w żadnych przypadku,, bo to proste są niezmiennicze, a nie punkty na nich.

b.) Tutaj stałe są punkty, więc raczej mogę wstawić za x, i y: \(Ox ^{3}: x ^{1}=0, x ^{2}=0, x ^{3}=t.\)

c.) Tutaj znowu chyba nie może być za x, i y to samo, bo ma wyjść punkt tej samej płaszczyzny, ale niekoniecznie ten sa (płaszczyzna niezmiennicza): Za x, wstawiam: \(Ox ^{1}x ^{2}: x ^{1}=t, x ^{2}=s, x ^{3}=0.\)Co wstawić za y?

Proszę od podpowiedź co wstawić za x, i y we wszystkich przypadkach w układzie równań (lub w równaniu macierzowym), i jakie wnioski na temat współczynników a,b,c, płyną z rozwiązania tych równań.

[irena]

a)
\(\begin{cases}y^1=-x^1\\y^2=-x^2\\y^3=-x^3 \end{cases}\)


\(\begin{bmatrix}y^1\\y^2\\y^3\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x^1\\x^2\\x^3\\1 \end{bmatrix}\)

[irena]

b)
\(\begin{cases}y^1=-x^1\\y^2=-x^2\\y^3=x^3 \end{cases}\)


\(\begin{bmatrix}y^1\\y^2\\y^3\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x^1\\x^2\\x^3\\1 \end{bmatrix}\)

[saddamk666]

a)
\(\begin{cases}y^1=-x^1\\y^2=-x^2\\y^3=-x^3 \end{cases}\)


\(\begin{bmatrix}y^1\\y^2\\y^3\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x^1\\x^2\\x^3\\1 \end{bmatrix}\)

W ten sposób wstawiłaś jakieś wartości za współczynniki przekształcenia afinicznego. A tutaj chodzi o to, żeby wstawić cos za x,y, a następnie rozwiązać odpowiedni układ równań (lub równanie macierzowe, jak kto woli), i wyznaczyć te współczynniki.

[irena]

c)
Może być też symetria względem punktu wspólnego trzech osi - jak w a)

P. S.
Ja już bardzo długo nie miałam do czynienia z algebrą. Podałam Ci tak trochę "na czuja". Pomogłam?

[saddamk666]

Pomogłaś, bo dałaś dobre przykłady, dzięki. :D
Chodzi mi teraz o to, żeby ktoś powiedział co wstawić w każdym przypadku za X, i Y, a następnie jak rozwiązać powstały układ równań, i dostać ogólną postać przekształcenia.

[octahedron]

Ja bym to widział tak:

\(M=\begin{bmatrix}a _{1}&a _{2}&a _{3}&a _{4}\\b _{1}&b _{2}&b _{3}&b _{4}\\c _{1}&c _{2}&c _{3}&c _{4}\\0&0&0&1\end{bmatrix}
a)
\begin{bmatrix}y_1\\0\\0\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}x_1\\0\\0\\1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0\\y_2\\0\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}0\\x_2\\0\\1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0\\0\\y_3\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}0\\0\\x_3\\1\end{bmatrix}
b)
\begin{bmatrix}0\\0\\x_3\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}0\\0\\x_3\\1\end{bmatrix}
b)
\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\0\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\0\\1\end{bmatrix}\)

[saddamk666]

Ja bym to widział tak:

\(M=\begin{bmatrix}a _{1}&a _{2}&a _{3}&a _{4}\\b _{1}&b _{2}&b _{3}&b _{4}\\c _{1}&c _{2}&c _{3}&c _{4}\\0&0&0&1\end{bmatrix}
a)
\begin{bmatrix}y_1\\0\\0\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}x_1\\0\\0\\1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0\\y_2\\0\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}0\\x_2\\0\\1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0\\0\\y_3\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}0\\0\\x_3\\1\end{bmatrix}
b)
\begin{bmatrix}0\\0\\x_3\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}0\\0\\x_3\\1\end{bmatrix}
b)
\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\0\\1\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\0\\1\end{bmatrix}\)

O tym akurat nie pomyślałem. :D Ale po rozwiązaniu tak otrzymanych układów równań dalej nie potrafie wyciągnąć wniosków na temat postaci powyższych przekształceń, mimo, że teoretycznie wystarczy teraz tylko banalnie wymnożyć macierze. Otrzymane przeze mnie przekształcenia nie spełniają warunków postawionych w zadaniu.

Przyjmując, że postać macierzy reprezentującej to przekształcenie we współrzędnych to: \(M=\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2} &a_{3}&a_{4} \\ b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{4}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}&c_{4} \end{bmatrix}\)
Po wymnożeniu macierzy, dostajemy:

a.) \(\{y^{1}=a_{1}x^{1}+a_{4}\\0=b_{1}x^{1}+b_{4}\\0=c_{1}x^{1}+c_{4}\) \(\{0=a_{2}x^{2}+a_{4}\\y^{2}=b_{2}x^{2}+b_{4}\\0=c_{2}x^{2}+c_{4}\) \(\{0=a_{3}x^{3}+a_{4}\\0=b_{3}x^{3}+b_{4}\\y_{3}=c_{3}x^{3}+c_{4}\)
Z tego wynika, że \(a_{2}=a_{3}=a_{4}=b_{1}=b_{3}=b_{4}=c_{1}=c_{2}=c_{4}=0,\)
Uwzględniając to, i składając równania odpowiednio pierwsze, drugie, i trzecie z pierwszego, drugiego, i trzeciego układu dostajemy postać przekształcenia afinicznego f:

\(f:\{y^{1}=a_{1}x^{1}\\y^{2}=b_{2}x^{2}\\y^{3}=c_{3}x^{3}\)
Zgadza się ze zdrowym rozsądkiem, i odpowiedzią do zadania.

b.) \(\{0=a__{3}x^{3}+a_{4}\\0=b_{3}x^{3}+b_{4}\\x^{3}=c_{3}x^{3}+c_{4}\)
Wtedy, według mnie, \(a_{3}=a_{4}=b_{3}=b_{4}=0,\\
c_{3}=1,c_{4}=0,\)

Czyli \(f:\{y^{1}=a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}\\y^{2}=b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}\\y^{3}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+x^{3}\)
Książka podaje, że powinno wyjść \(y^{3}=x^{3}\), ale może to akurat nie jest znacząca różnica

c.) Tu zdecydowanie odpowiedź nie zgadza się ani z książką, ani powstałe przekształcenie afiniczne nie przeprowadza tego, co powinno, w to co powinno.

Mamy:

\(\{y^{1}=a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{4}\\y^{2}=b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}+b_{4}\\0=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{4}\)
Czyli: \(c_{1}=c_{2}=c_{4}=0\) Dostajemy przekształcenie afiniczne w postaci:
\(f:\{y^{1}=a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{4}\\y^{2}=b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}+b_{4}\\y^{3}=c_{3}x^{3}\), a odpowiedź brzmi:

\(f:\{y^{1}=x^{1}+a_{3}x^{3}\\y^{2}=x^{2}+b_{3}x^{3}\\y^{3}=c_{3}x^{3}\)

Coś niewłaściwie zinterpretowałem, czy się gdzieś mylę??

[octahedron]

Przekształcenie nie są wyznaczone jednoznacznie. Pewne współczynniki w macierzy mają się zerować, ale pozostałe są dowolne.