obliczyc objetosc bryly powstalej przez obrot dookola osi ox

[lepki22]

Prosze o pomoc i objasnienie jak wyliczyc to zadanie obliczyc objetosc bryly powstalej przez obrot dookola osi ox elipsy 8x^2−5y^2=40

[domino21]

\(8x^2+5y^2=40 \ \Rightarrow \ y=\pm \sqrt{8-\frac{8}{5} x^2}\)

to czy obrócimy górną część elipsy (+pierwiastek) czy dolną (-pierwiastek) to na to samo wyjdzie, więc obróćmy górną
objętość bryły powstałej przez obrót krzywej f(x) dookoła osi OX można wyliczyć ze wzoru:
\(V=\pi \int_a^b f^2(x)dx\)

z postaci kanonicznej odczytamy granice całkowania:
\(8x^2+5y^2=40 \ \Rightarrow \ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{8}=1\)

\(V=\pi \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (8-\frac{8}{5}x^2)dx=2\pi \int_0^{\sqrt{5}} (8-\frac{8}{5} x^2)dx=2\pi(8x-\frac{8}{15}x^3)|_0^{\sqrt{5}}=2\pi (8\sqrt{5}-\frac{8}{15} \cdot 5\sqrt{5})=\\=2\pi (8\sqrt{5}-\frac{8}{3}\sqrt{5})=\frac{32}{3}\sqrt{5} \pi\)

[lepki22]

ale w zadaniu jest minus czyli 8x^2 - 5y^2=40 to chyba troche zmienia sprawe

[lepki22]

skad sie bierze 2pi ?

[domino21]

ale w zadaniu jest minus czyli 8x^2 - 5y^2=40 to chyba troche zmienia sprawe

ale w zadaniu jest zapisane, że to elipsa i to też chyba trochę zmienia sprawę, więc najpierw doprowadź swojego posta do ładu i składu

skąd 2pi? stąd, że funkcja podcałkowa jest parzysta

[ewelawwy]

skad sie bierze 2pi ?

\(8- \frac 85 x^2\) jest parabolą symetryczną względem osi OY, zatem całka od \(-\sqrt 5\) do \(\sqrt 5\) to jest to samo co dwie calki od \(0\) do \(\sqrt 5\)

[lepki22]

skad sie bierze 2pi ?

\(8- \frac 85 x^2\) jest parabolą symetryczną względem osi OY, zatem całka od \(-\sqrt 5\) do \(\sqrt 5\) to jest to samo co dwie calki od \(0\) do \(\sqrt 5\)

dzikei wielki jestem kiepski z mamty i nowy na formu postaram sie bardziej ogarnac w najlblizszym czasie

[lepki22]

mogłbys sprawdzic czy to zadanie jest dobrze rozwiazane ta sama tresc tylko
\(9x^2\)+\(36y^2\)=\(324\)
\(36y^2\)=\(-9x^2\)+\(324\)
\(y=\)\(\sqrt{0,25x^2+9}\)
i V wychodzi mi \(72{\pi}\) czy prawidlowo ?

[domino21]

jest okej, tylko
\(y=\sqrt{-0,25x^2+9}\)

[lepki22]

jest okej, tylko
\(y=\sqrt{-0,25x^2+9}\)

tak blad w przepisywaniu