Zbieżność całki

[cules91]

Proszę o pomoc w sprawdzeniu zbieżności całki :

\(\int_{1}^{\infty}arctg \frac{1}{x}dx\)

[radagast]

\(\int arctg \frac{1}{x}dx=\int \left(x \right) 'arctg \frac{1}{x}dx= x arctg \frac{1}{x}-\int x \cdot \left( - \frac{1}{x^2} \right) \frac{1}{1+ \frac{1}{x^2} } dx=
x arctg \frac{1}{x}+\int \frac{x}{x^2+ 1 } dx=
x arctg \frac{1}{x}+ \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+ 1 } dx=
x arctg \frac{1}{x}+ \frac{1}{2} ln |x^2+ 1| +C\)

No to rozbieżna, bo
\(\int_1^ \infty arctg \frac{1}{x}dx= \left [x arctg \frac{1}{x}+ \frac{1}{2} ln |x^2+ 1| \right]_1^ \infty=
\lim_{x\to \infty } \left(x arctg \frac{1}{x}+\frac{1}{2} ln |x^2+ 1 | \right) -\lim_{x\to 1 } \left(x arctg \frac{1}{x}+\frac{1}{2} ln |x^2+ 1 | \right)\)

natomiast

\(\lim_{x\to \infty } x arctg \frac{1}{x} =1\)
\(\lim_{x\to \infty } \frac{1}{2} ln |x^2+ 1 |= \infty\)
\(\lim_{x\to 1 } x arctg \frac{1}{x}= \frac{ \pi }{4}\)
\(\lim_{x\to 1 } \frac{1}{2} ln |x^2+ 1|= ln \sqrt{2}\)

Ale to dziwne..., na oko wygląda na zbieżną ... (sprawdź rachunki, jeśli znajdziesz błąd to pisz , sama jestem ciekawa )

[octahedron]

Można też zbadać szereg:

\(\sum_{1}^{\infty}\mbox{arctg}\frac{1}{n}\)

który jest rozbieżny, bo

\(\lim_{n\to\infty}\frac{\mbox{arctg}\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1\)

a szereg \(\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}\) jest rozbieżny. Całka jest więc rozbieżna.