wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(f(x,y)=9xy+x^3-y^3+20\)
obliczyłam pochodne cząstkowe, ale mam problem z układem równań:
\(\begin{cases} 9y+3x^2=0 \\ 9x-3y^2=0 \end{cases}\)
proszę o pomoc.
ekstrema lokalne funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
\(\begin{cases} 9y+3x^2 =0 \\ 9x-3y^2=0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} x^2+3y=0 \\ 3x-y^2=0 \ \Rightarrow \ x=\frac{1}{3}y^2 \end{cases}\)
\(x=\frac{1}{3}y^2 \ \wedge \ x^2+3y=0 \ \Rightarrow \ (\frac{1}{3}y^2)^2+3y=0 \ \Rightarrow \ \frac{1}{9}y^4+3y=0 \ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ y^4+27y=0\ \Rightarrow \ y(y^3+27)=0 \ \Rightarrow \ y=0 \ \vee \ y=-3\)
\(y=0 \ \Rightarrow \ x=0
y=-3 \ \Rightarrow \ x=3\)
więc są dwa punkty stacjonarne: A(0,0) oraz B(3,-3)
\(x=\frac{1}{3}y^2 \ \wedge \ x^2+3y=0 \ \Rightarrow \ (\frac{1}{3}y^2)^2+3y=0 \ \Rightarrow \ \frac{1}{9}y^4+3y=0 \ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ y^4+27y=0\ \Rightarrow \ y(y^3+27)=0 \ \Rightarrow \ y=0 \ \vee \ y=-3\)
\(y=0 \ \Rightarrow \ x=0
y=-3 \ \Rightarrow \ x=3\)
więc są dwa punkty stacjonarne: A(0,0) oraz B(3,-3)
\(f(x,\ y)=9xy+x^3-y^3+20\)
\(f'_x=9y+3x^2\\f'_y=9x-3y^2\\ \begin{cases}3x^2+9y=0\\9x-3y^2=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}x=3\\y=-3 \end{cases}\)
\(f"_{xy}=9\\f"_{xx}=6x\\f"_{yy}=-6y\)
sprawdzam punkt (0, 0)
\(f"_{xy}(0,\ 0)=9\\f"_{xx}(0,\ 0)=0\\f"_{yy}(0,\ 0)=0\\D(0,\ 0)=9^2-0\cdot0=81>0\)
W punkcie (0, 0) funkcja nie ma ekstremum.
Sprawdzam punkt (3, -3)
\(f"_{xy}(3,\ -3)=9\\f"_{xx}(3;\ -3)=18>0\\f"_{yy}(3,\ -3)=18>0\\D(3,\ -3)=9^2-18\cdot18=81-324<0\ \ \wedge\ \ f"_{xx}(3,\ -3),\ f"_{yy}(3,\ -3)>0\)
Funkcja w punkcie (3, -3) ma minimum lokalne
\(f(3,\ -3)=9\cdot(-9)+3^3-(-3)^3+20=-81+27+27+20=-81+74=-7\)
\(f'_x=9y+3x^2\\f'_y=9x-3y^2\\ \begin{cases}3x^2+9y=0\\9x-3y^2=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}x=3\\y=-3 \end{cases}\)
\(f"_{xy}=9\\f"_{xx}=6x\\f"_{yy}=-6y\)
sprawdzam punkt (0, 0)
\(f"_{xy}(0,\ 0)=9\\f"_{xx}(0,\ 0)=0\\f"_{yy}(0,\ 0)=0\\D(0,\ 0)=9^2-0\cdot0=81>0\)
W punkcie (0, 0) funkcja nie ma ekstremum.
Sprawdzam punkt (3, -3)
\(f"_{xy}(3,\ -3)=9\\f"_{xx}(3;\ -3)=18>0\\f"_{yy}(3,\ -3)=18>0\\D(3,\ -3)=9^2-18\cdot18=81-324<0\ \ \wedge\ \ f"_{xx}(3,\ -3),\ f"_{yy}(3,\ -3)>0\)
Funkcja w punkcie (3, -3) ma minimum lokalne
\(f(3,\ -3)=9\cdot(-9)+3^3-(-3)^3+20=-81+27+27+20=-81+74=-7\)