fUNKCJA PIERWOTNA

[marcin898]

Wykaż ,że funkcja F(X)=-\(\sqrt{2+4x-x^2}\) + 2arcsin \(\frac{x-2}{ \sqrt{6}\)} jest f. pierwotną
f(X) =\(\frac{x}{\sqrt{2+4x-x^2}\)}

Z góry dziękuje za rozwiązanie zadania

[domino21]

\(\int \frac{x}{\sqrt{2+4x-x^2}}dx=\int \frac{\frac{1}{2}(2x-4)+2}{\sqrt{6-(2-x)^2}}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{-2x+4}{\sqrt{6-(2-x)^2}}dx+\int \frac{2}{\sqrt{6-(2-x)^2}}dx=\\=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2+4x-x^2}+\int \frac{2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1-(\frac{x-2}{\sqrt{6}})^2}}dx=\left(\frac{x-2}{\sqrt{6}}=t \\ dx=\sqrt{6} dt \right)=-\sqrt{2+4x-x^2}+\int \frac{2 \sqrt{6} dt}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1-t^2}}=\\=-\sqrt{2+4x-x^2}+2\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=-\sqrt{2+4x-x^2}+2arc \sin t +C=-\sqrt{2+4x-x^2}+2 arc \sin \frac{x-2}{\sqrt{6}}+C\)

[Galen]

Oblicz pochodną funkcji F.
Trzeba tu stosować wzory na pochodne F złożonej.
\(F'(x)=-\frac{-2x+4}{2\sqrt{-x^2+4x+2}}+\frac{ \frac{2}{ \sqrt{6} }}{ \sqrt{1- \frac{(x-2)^2}{6}} }= \frac{x-2}{ \sqrt{-x^2+4x+2} }+ \frac{2}{ \sqrt{6-x^2+4x-4} }= \frac{x}{ \sqrt{-x^2+4x+2} }=f(x)\)