Zdiagonalizować macierz
\(A=\begin{bmatrix}7& -8\\ 3&-4 \end{bmatrix}\)
Z góry dzięki
diagonalizacja macierzy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Wartości własne:
\(\det\begin{bmatrix}7-\lambda& -8\\ 3&-4-\lambda \end{bmatrix}=(7-\lambda)(-4-\lambda)+24=\lambda^2-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda_1=-1,\ \lambda_2=4\)
Macierz ma wymiar \(2\times 2\) i posiada \(2\) różne wartości własne, czyli można ją zdiagonalizować.
Wektory własne
\(\lambda=-1:
\begin{bmatrix}8& -8\\ 3&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=0\Rightarrow \begin{cases}8x-8y=0\\3x-3y=0 \end{cases} \Rightarrow x=y \Rightarrow u_1=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}
\lambda=4:
\begin{bmatrix}3& -8\\ 3&-8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=0\Rightarrow \begin{cases}3x-8y=0\\3x-8y=0 \end{cases} \Rightarrow 3x=8y \Rightarrow u_2=\begin{bmatrix}8\\3 \end{bmatrix}\)
stąd
\(A= \begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{3}{5}&\frac{8}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{bmatrix}\)
\(\det\begin{bmatrix}7-\lambda& -8\\ 3&-4-\lambda \end{bmatrix}=(7-\lambda)(-4-\lambda)+24=\lambda^2-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1)=0 \Rightarrow \lambda_1=-1,\ \lambda_2=4\)
Macierz ma wymiar \(2\times 2\) i posiada \(2\) różne wartości własne, czyli można ją zdiagonalizować.
Wektory własne
\(\lambda=-1:
\begin{bmatrix}8& -8\\ 3&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=0\Rightarrow \begin{cases}8x-8y=0\\3x-3y=0 \end{cases} \Rightarrow x=y \Rightarrow u_1=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}
\lambda=4:
\begin{bmatrix}3& -8\\ 3&-8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=0\Rightarrow \begin{cases}3x-8y=0\\3x-8y=0 \end{cases} \Rightarrow 3x=8y \Rightarrow u_2=\begin{bmatrix}8\\3 \end{bmatrix}\)
stąd
\(A= \begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&8\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{3}{5}&\frac{8}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{bmatrix}\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
Re:
Macierz ma wymiar \(2\times 2\) i posiada \(2\) różne wartości własne, czyli można ją zdiagonalizować.
A kiedy nie można zdiagonalizować macierzy ?
A kiedy nie można zdiagonalizować macierzy ?
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
W przestrzeni wektorowej V nad ciałem C liczb zespolonych dana jest baza \((v_1,v_2,v_3)\). przekształcenie liniowe \(f:V-->V\) ma w tej bazie macierz
\(A=\begin{bmatrix}i& 0&0 \\ 0&1&-1\\0&1&1 \end{bmatrix}\)
a) wyznaczyć obraz f(v) dowolnego wektora \(v\in V\)
b) czy istnieje baza w przestrzeni wektorowej V w której macierz przekształcenia f ma macierz diagonalną ? Jeżeli taka baza istnieje to wskazać tę bazę
\(A=\begin{bmatrix}i& 0&0 \\ 0&1&-1\\0&1&1 \end{bmatrix}\)
a) wyznaczyć obraz f(v) dowolnego wektora \(v\in V\)
b) czy istnieje baza w przestrzeni wektorowej V w której macierz przekształcenia f ma macierz diagonalną ? Jeżeli taka baza istnieje to wskazać tę bazę
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć: