Zbadać różniczkowalność funkcji

[mat91]

Zbadać różniczkowalność funkcji \(f:R^2 \to R\),gdzie
\(f(x,y)= \begin{cases}g(x,y)&dla&(x,y) \neq (0,0)\\0&dla&(x,y)=(0,0) \end{cases}\) w punkcie (0,0) gdy:
1.\(g(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\)
2.\(g(x,y)=\frac{y^2}{x^2+y^2}\)
3.\(g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)
4.\(g(x,y)=\frac{xy(x+y)}{x^2+y^2}\)

[octahedron]

1.
\(g_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{g(x,0)-g(0,0)}{x}=0
g_y(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{g(0,y)-g(0,0)}{y}=0\)

Aby funkcja była różniczkowalna, dla pewnego otoczenia \((0,0)\) musi zachodzić

\(g(x,y)-g(0,0)=g_x(0,0)x+g_y(0,0)y+\alpha\sqrt{x^2+y^2}=\alpha\sqrt{x^2+y^2}\)
gdzie
\(\lim_{\small\sqrt{x^2+y^2}\to 0}\ \alpha=0\)

czyli

\(\lim_{\small\sqrt{x^2+y^2}\to 0}\frac{g(x,y)-g(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0
\
x=r\cos\varphi
y=r\sin\varphi
\lim_{\small\sqrt{x^2+y^2}\to 0}\frac{g(x,y)-g(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{r\to 0}\frac{r^3\sin^2\varphi\cos\varphi}{r^3}=\lim_{r\to 0}\sin^2\varphi\cos\varphi\ne 0\)

Funkcja nie jest różniczkowalna

[octahedron]

\(2.
x=0
y=\frac{1}{n}
\lim_{\small (x,y)\to (0,0)}g(x,y)=\lim_{n\to\infty}\frac{\ \frac{1}{n}\ }{\frac{1}{n}}=1\ne g(0,0)\)

Funkcja jest nieciągła, więc nie jest różniczkowalna

[octahedron]

\(3.
g_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{g(x,0)-g(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}={\{1,\ x\to 0^+\\-1,\ x\to 0^-}\)

Pochodna cząstkowa nie istnieje, czyli funkcja nie jest różniczkowalna

[octahedron]

\(4.
\frac{xy(x+y)}{x^2+y^2}=\frac{x^2y}{x^2+y^2}+\frac{xy^2}{x^2+y^2}\)

Z pkt. 1 mamy:

\(\lim_{\small (x,y)\to(0,0)}\alpha=\lim_{r\to 0}\sin^2\varphi\cos\varphi+\cos^2\varphi\sin\varphi=\lim_{r\to 0}\sin\varphi\cos\varphi(\cos\varphi+\sin\varphi)\ne 0\)

Nie jest różniczkowalna