Zbadać istnienie pochodnych kierunkowych funkcji
\(f(x,y)= \begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4}&dla&(x,y) \neq (0,0)\\0&dla&(x,y)=(0,0) \end{cases}\)
w kierunku dowolnego wektora \(h=(h_1,h_2) \in R^2\) w punkcie (0,0), a następnie zbadać ciągłość funkcji f w punkcie (0,0). Wyciągnąć wniosek.
Zbadać istnienie pochodnych kierunkowych funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: Zbadać istnienie pochodnych kierunkowych funkcji
\(h_1=|h|\cos\varphi
h_2=|h|\sin\varphi
f_h(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{f(0+th_1,0+th_2)-f(0,0)}{t|h|}=\lim_{t\to 0}\frac{f(th_1,th_2)}{t|h|}=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{t^2\cos\varphi\sin^2\varphi}{t^2\cos^2\varphi+t^4\sin^4\varphi}}{t}=
=\lim_{t\to 0}\ \frac{\cos\varphi\sin^2\varphi}{t\cos^2\varphi+t^3\sin^4\varphi}
\cos\varphi=0\ \vee\ \sin\varphi=0\Rightarrow f_h(x,y)=0
\cos\varphi\ne 0\ \wedge\ \sin\varphi\ne 0\Rightarrow \lim_{t\to 0}\ f_h(x,y)=\frac{\cos\varphi\sin^2\varphi}{0^+}= \begin{cases} +\infty,\ \cos\varphi>0\Rightarrow h_1>0\\ -\infty,\ \cos\varphi<0\Rightarrow h_1<0\end{cases}
x_n=\frac{1}{n^2}
y_n=\frac{1}{n}
\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=\lim_{n\to\infty}\ \frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{1}{2}\ne 0
\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\ne f(0,0)\)
Czyli funkcja jest nieciągła, ale ma niektóre pochodne kierunkowe.
h_2=|h|\sin\varphi
f_h(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{f(0+th_1,0+th_2)-f(0,0)}{t|h|}=\lim_{t\to 0}\frac{f(th_1,th_2)}{t|h|}=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{t^2\cos\varphi\sin^2\varphi}{t^2\cos^2\varphi+t^4\sin^4\varphi}}{t}=
=\lim_{t\to 0}\ \frac{\cos\varphi\sin^2\varphi}{t\cos^2\varphi+t^3\sin^4\varphi}
\cos\varphi=0\ \vee\ \sin\varphi=0\Rightarrow f_h(x,y)=0
\cos\varphi\ne 0\ \wedge\ \sin\varphi\ne 0\Rightarrow \lim_{t\to 0}\ f_h(x,y)=\frac{\cos\varphi\sin^2\varphi}{0^+}= \begin{cases} +\infty,\ \cos\varphi>0\Rightarrow h_1>0\\ -\infty,\ \cos\varphi<0\Rightarrow h_1<0\end{cases}
x_n=\frac{1}{n^2}
y_n=\frac{1}{n}
\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=\lim_{n\to\infty}\ \frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{1}{2}\ne 0
\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\ne f(0,0)\)
Czyli funkcja jest nieciągła, ale ma niektóre pochodne kierunkowe.