zastosowanie geometryczne całek - 3 zadania

[Jackie]

Witam,
Prosiłbym bardzo o rozwiązanie tych o to, trzech zadań z zastosowań geometrycznych całek :
1.Obliczyć polę pętli linii \(x=2t-t^2\) \(y=2t^{2}-t^3\)
2.łuk krzywej \(x=t^2\),\(y=t- \frac{1}{3}t^3\) w przedziale \(0 \le t \le \sqrt{3}\)
3.Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi \(OX\)asteroidy o tym samym równaniu i przedziale co w zadaniu 2.
Bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam,
Jackie.

[domino21]

2.

\(|L|=\int_K dl =\int_0^{\sqrt{3}}\sqrt{(2t)^2+(1-t^2)^2}dt=\int_0^{\sqrt{3}}\sqrt{4t^2+1-2t^2+t^4}dt=\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{1+2t^2+t^4}dt=\\=\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{(1+t^2)^2}dt=\int_0^{\sqrt{3}}|1+t^2|dt=\int_0^{\sqrt{3}} (1+t^2)dt=t+\frac{1}{3}t^3 |_0^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)

[radagast]

2.
Może to można jakoś bardziej fachowo ale ja umiem tak:
\(x=t^2\ \ i \ \ t \in \left( 0, \sqrt{3} \right)\)
no to \(t= \sqrt{x}\ \ i \ \ x \in \left(0,3 \right)\)

\(y=t- \frac{1}{3}t^3=t(1-\frac{1}{3}t^2)= \sqrt{x} \left(1-\frac{1}{3}x \right)\)
\(y'= \frac{1}{2 \sqrt{x} } - \frac{ \sqrt{x} }{2}\)
\((y')^2= \frac{1}{4x } - \frac{ x }{4}- \frac{1}{2}\)

\(l= \int_{0}^{3} \sqrt{1+(y')^2}dx\)

\(l= \int_{0}^{3} \sqrt{ \frac{1}{4x}+ \frac{x}{4} - \frac{1}{2} +1 }\ dx= \frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{ \frac{1}{x}+x+2 } dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{ \frac{1+2x+x^2}{x}} dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{ \frac{ \left( 1+x\right) ^2}{x}} dx =
\frac{1}{2} \int_{0}^{3} { \frac{1+x}{\sqrt{x}}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{- \frac{1}{2}} +x^{ \frac{1}{2} } dx = \frac{1}{2} \left[ 2x^ {\frac{1}{2}}+ \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2}} \right]_{0}^{3}= \sqrt{3}+ \frac{1}{3} \sqrt{27}=2 \sqrt{3}\)

No nie wiem czy sie nie pomyliłam w rachunkach... trzeba to sprawdzić. Ja juz nie mam siły


Aaaa , widzę że Domino ma taki sam wynik , to raczej dobrze. On ma bardziej fachowo ale zostawię swoje chalupnictwo , może się przyda

[Jackie]

dzięki wielkie, no sposób domina jednak prostszy jest, ale mimo wszystko dziękuję ^^
Bardzo by mi zależało jednak na zadaniu 3, bym wiedział jak mam zrobić pozostałe zadania

[domino21]

3.
a.
\(V=\pi \int_a^b y^2(t)|x'(t)|dt=\pi \int_0^{\sqrt{3}} (t-\frac{1}{3}t^3)^2 \cdot |2t|dt=\pi \int_0^{\sqrt{3}}2t(t^2-\frac{2}{3}t^4+\frac{1}{9}t^6)dt=2\pi \int_0^{\sqrt{3}} (t^3-\frac{2}{3}t^5+\frac{1}{9}t^7)dt=\\=2\pi \cdot (\frac{1}{4}t^4-\frac{1}{9}t^6+\frac{1}{72}t^8|_0^{\sqrt{3}})=2\pi (\frac{9}{4}-3+\frac{9}{8})=\frac{3\pi}{4}\)

[domino21]

b.
\(V=2\pi \int_a^b |y(t)|\cdot \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt=2\pi \int_0^{\sqrt{3}}(t-\frac{1}{3}t^3)\sqrt{(2t)^2+(1-t^2)^2}dt=\\=2\pi \int_0^{\sqrt{3}}(t-\frac{1}{3}t^3)\sqrt{(t^2+1)^2}dt=2\pi \int_0^{\sqrt{3}}(t-\frac{1}{3}t^3)(t^2+1)dt=2\pi \int_0^{\sqrt{3}} (t^3+t-\frac{1}{3}t^5-\frac{1}{3}t^3)dt\\=\\2\pi \int_0^{\sqrt{3}} (\frac{2}{3}t^3+t-\frac{1}{3}t^5)dt=2\pi \cdot (\frac{1}{6}t^4+\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{18}t^6|_0^{\sqrt{3}})=2\pi(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2})=3\pi\)

[Jackie]

dzięki wielkie, ale w pkt. a jest chyba jeden mały błąd a mianowicie: \(- \int_ \frac{2t^5 }{3}\) to jest \(- \frac{12t^6}{18}\) i w konsekwencji daje, nie -3, a -18. O ile się nie mylę ...

[domino21]

mówisz o a czy b?

a całka, o której mówisz, jest na pewno źle policzona

[Jackie]

Ehh... dobrze jest, przepraszam Cie, od tej nauki mam jakiś mrok na umyśle ^^

[domino21]

[Jackie]

Witam,
Nie chcąc zaśmiecać ponownie forum, chciałbym odświeżyć ten temat i prosić o rozwiązanie zadania 1 i jeżeli to możliwe wytłumaczenie tego na "chłopski rozum" ^^. ( najlepiej by było jakiś ogólny schemat postępowania z takim zadaniem, co najpierw itp )

[domino21]

a powiedz mi, tam nie było przedziału, na którym zmienia się parametr t ?

[Jackie]

No właśnie w tym sęk. To jest całe zadanie, nic więcej nie było podane.

[domino21]

albo czy chociaż odpowiedź masz, to zobaczę czy to co wykombinowałem jest okej

[Jackie]

odpowiedź, to \(P= \frac{8}{15}\)