oblicz granicę:
\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\)
granice, pochodna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}} =\lim_{x\to 2} e^{ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)\)
policzmy na razie granicę:
\(\lim_{x\to 2}ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)=
\lim_{x\to 2} \frac{x+2}{x^3-8} ln {\frac{x^2+3}{x+5}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ ln {\frac{x^2+3}{x+5} }}{x^3-8}} =^H
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{x+5}{x^2+3} \cdot \frac{2x(x+5)-(x^2+3)}{(x+5)^2} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} { \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} \cdot \frac{1}{3x^2} } =
4 \cdot \frac{21}{7 \cdot 7 \cdot 12}= \frac{1}{7}\)
No to \(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=e^{ \frac{1}{7}}\)
Ale rachunki to lepiej sprawdź i w razie czego pytaj
policzmy na razie granicę:
\(\lim_{x\to 2}ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)=
\lim_{x\to 2} \frac{x+2}{x^3-8} ln {\frac{x^2+3}{x+5}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ ln {\frac{x^2+3}{x+5} }}{x^3-8}} =^H
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{x+5}{x^2+3} \cdot \frac{2x(x+5)-(x^2+3)}{(x+5)^2} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} { \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} \cdot \frac{1}{3x^2} } =
4 \cdot \frac{21}{7 \cdot 7 \cdot 12}= \frac{1}{7}\)
No to \(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=e^{ \frac{1}{7}}\)
Ale rachunki to lepiej sprawdź i w razie czego pytaj
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: granice, pochodna
Albo, korzystając z zależności:
\(\lim_{x\to x_o}h(x)=0\Rightarrow \lim_{x\to x_o}\(1+h(x)\)^{\frac{1}{h(x)}}=e\)
\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=\lim_{x\to 2} \left(\frac{x+5+x^2+3-x-5}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=\lim_{x\to 2} \left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=
=\lim_{x\to 2} \left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\cdot\frac{x+2}{x^3-8}\cdot\frac{x^2-x-2}{x+5}}=\lim_{x\to 2} \[\left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\]^{\frac{x+2}{(x-2)(x^2+2x+4)}\cdot\frac{(x-2)(x+1)}{x+5}}=
=\lim_{x\to 2} \[\left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\]^{\frac{(x+2)(x+1)}{(x^2+2x+4)(x+5)}}=e^{{\frac{(2+2)(2+1)}{(2^2+2\cdot 2+4)(2+5)}}}=e^{\frac{1}{7}}\)
\(\lim_{x\to x_o}h(x)=0\Rightarrow \lim_{x\to x_o}\(1+h(x)\)^{\frac{1}{h(x)}}=e\)
\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=\lim_{x\to 2} \left(\frac{x+5+x^2+3-x-5}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=\lim_{x\to 2} \left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=
=\lim_{x\to 2} \left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\cdot\frac{x+2}{x^3-8}\cdot\frac{x^2-x-2}{x+5}}=\lim_{x\to 2} \[\left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\]^{\frac{x+2}{(x-2)(x^2+2x+4)}\cdot\frac{(x-2)(x+1)}{x+5}}=
=\lim_{x\to 2} \[\left(1+\frac{x^2-x-2}{x+5} \right) ^{\frac{x+5}{x^2-x-2}\]^{\frac{(x+2)(x+1)}{(x^2+2x+4)(x+5)}}=e^{{\frac{(2+2)(2+1)}{(2^2+2\cdot 2+4)(2+5)}}}=e^{\frac{1}{7}}\)
Re:
Z jakiej reguły de L'Hospitala trzeba było skorzystać? Jak powinien wyglądać ten wzór? Bo do tego momentu wszystko rozumiem, ale dalej jest mi ciężko się połapać.radagast pisze:\(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}} =\lim_{x\to 2} e^{ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)\)
policzmy na razie granicę:
\(\lim_{x\to 2}ln \left( {\left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}\right)=
\lim_{x\to 2} \frac{x+2}{x^3-8} ln {\frac{x^2+3}{x+5}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ ln {\frac{x^2+3}{x+5} }}{x^3-8}} =^H
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{x+5}{x^2+3} \cdot \frac{2x(x+5)-(x^2+3)}{(x+5)^2} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} {\frac{ \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} }{3x^2}} =
4\lim_{x\to 2} { \frac{1}{x^2+3} \cdot \frac{x^2+10x-3}{x+5} \cdot \frac{1}{3x^2} } =
4 \cdot \frac{21}{7 \cdot 7 \cdot 12}= \frac{1}{7}\)
No to \(\lim_{x\to 2} \left(\frac{x^2+3}{x+5 \right) ^{\frac{x+2}{x^3-8}}=e^{ \frac{1}{7}}\)
Ale rachunki to lepiej sprawdź i w razie czego pytaj
Z góry bardzo dziękuję za wytłumaczenie.
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Re:
o z takiej : http://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82 ... 7HospitalaJula272 pisze:
Z jakiej reguły de L'Hospitala trzeba było skorzystać? Jak powinien wyglądać ten wzór? Bo do tego momentu wszystko rozumiem, ale dalej jest mi ciężko się połapać.
Z góry bardzo dziękuję za wytłumaczenie.
To jest dość poważne narzędzie (trudne do udowodnienia) ale baaardzo ułatwia rachunki. Dlatego jest często nadużywane.
Jednak stopień trudności Twojego przykładu uzasadnia użycie reguły de l'Hospitala.
Niżej masz jednak bez reguły sposób Octahedrona - muszę przyznać, ze ładniejszy niż mój.