całka podwójna

[puzon]

\(\int\int_D (y+3x^2)dxdy
D: y=x, y=2-x, x=-1\)

\(\int\int_D \frac{y}{x}dxdy\)
D: y=0, y=ln x, x=e

[domino21]

a.
\(\int\int_D (y+3x^2)dxdy = \int_{-1}^1 \int_x^{2-x} (y+3x^2)dydx =\int_{-1}^1 \frac{1}{2}y^2+3x^2y|_x^{2-x} dx =\\=\int_{-1}^1 \frac{1}{2}(2-x)^2 +3x^2(2-x)-\frac{1}{2}x^2-3x^3 dx =\int_{-1}^1 (2-2x+\frac{1}{2}x^2+6x^2-3x^3-\frac{1}{2}x^2-3x^3 )dx=\\=\int_{-1}^1 (-6x^3+6x^2-2x+2)dx =2\int_{-1}^1 (-3x^3+3x^2-x+1)dx =2(-\frac{3}{4}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+x|_{-1}^1)=\\=2(-\frac{3}{4}+1-\frac{1}{2}+1+\frac{3}{4}+1+\frac{1}{2}+1)=2\cdot 4=8\)

[domino21]

jeszcze rysunek i opis obszaru:

\((x, y)\in D : \ \begin{cases} -1\le x \le 1 \\ x\le y \le 2-x \end{cases}\)

calka_1.jpeg (49.26 KiB) Przejrzano 715 razy

[domino21]

czy ppkt b. jest poprawnie przepisany?
bo obszar, który podałeś nie jest domknięty

[irena]

czy ppkt b. jest poprawnie przepisany?
bo obszar, który podałeś nie jest domknięty

A mnie się wydaje, że domknięty
- z dołu ogranicza go oś OY
- z "prawej strony" prosta pionowa x=e
- z "lewej strony wykres y=lnx, który przecina prostą x=e w punkcie (1, 1)

czyli - zakres y to od 0 do lnx, a zakres x od 1 do e

[domino21]

irena, masz rację
puzon, przepraszam
wakacje mnie nie usprawiedliwiają, zamiast funkcji logarytmicznej narysowałem funkcję wykładniczą

zaraz się biorę za to

[domino21]

\(\int \int_D \frac{y}{x} dxdy =\int_1^e \int_0 ^{\ln x} \frac{y}{x} dydx =\int_1^e \frac{y^2}{2x}|_0^{\ln x} dx = \int_1^e \frac{\ln ^2 x}{2x}dx =\left( \ln x =t \ \ 1\le x \le e \\ \frac{dx}{x}=dt \ \ 0 \le t \le 1 \right)=\int_0^1 \frac{t^2}{2}dt=\\=\frac{1}{6} t^3|_0^1=\frac{1}{6}\)

[domino21]

do tego też rysunek i opis obszaru:
\((x,y)\in D: \ \begin{cases} 1\le x \le e \\ 0\le y \le \ln x \end{cases}\)

calka_2.jpg (27.86 KiB) Przejrzano 690 razy