pochodna

[bunia1992]

Dwie proste styczne do wykresu funkcji \(f(x)=x^2\) przecinają sie pod kątem prostym w punkcie leżącym na osi y. Znajdz równania tych stycznych.

[radagast]

1) Funkcja jest parzysta, styczne przecinają się na osi x t. zn są poprowadzone w punktach o przeciwnych odciętych.
2)\(f'(x)=2x\) Styczna do wykresu poprowadzona w punkcie o odciętej \(x_0\) ma równanie
\(y=2x_0x+b\) , a ta druga
\(y=- \frac{1}{2x_0} x+b\), bo jest do niej prostopadła
skoro odcięte punktów styczności są liczbami przeciwnymi to \(\frac{- \frac{1}{2x_0} }{2} =-x_0\)
Stąd \(x_0= \frac{1}{2}\)
No to jedna styczna ma równanie \(y=x- \frac{1}{4}\) , a druga \(y=-x- \frac{1}{4}\)

[irena]

Wartość pochodnej dla x=k jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do paraboli.
Obie styczne przecinają się na osi OY i są symetryczne względem tej osi.
\((k,\ k^2)\ i\ (-k;\ k^2)\) to punkty styczności.
\(f'(x)=2x\\f'(k)=2k\\f'(-k)=-2k\)

Proste te są prostopadłe, czyli
\(2k\cdot(-2k)=-1\\-4k^2=1\\k^2=\frac{1}{4}\\k=\frac{1}{2}\ \vee\ k=-\frac{1}{2}\)

Czyli są to proste: \(y=x+b\ i\ y=-x+b\)

Styczna przechodzi przez punkt \((k;\ k^2)\), czyli \((\frac{1}{2};\ \frac{1}{4})\), druga przez punkt \((-k;\ k^2)\), czyli \((-\frac{1}{2};\ \frac{1}{4})\)
\(\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+b\\b=-\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{4}=-(-\frac{1}{2})+b\\b=-\frac{1}{4}\)

Równania stycznych:
\(y=x-\frac{1}{4}\\y=-x-\frac{1}{4}\)