Całka nieoznaczona + liczby zespolone

[Svanar]

1. \(\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4}}\)arctg\(\frac{1}{x} dx\) =
2. Rozwiązać równanie:
\(Z^2\) + (i-2)z + 2 + 2i = 0
3. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór:
A={z \(\in\) RxR : |1+iz|<1, rez <0} tutaj prosił bym o wytłumaczenie tej pierwszej części.
4. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A=(3,1,2) B=(5,1,4) C=(0,2,5) D=(-2,0,6).
5. Wiedząc, że następująca całka istnieje, obliczyć ich wartości z definicji, czyli tworząc sumy całkowe odpowiadające podziałowi przedziału całkowania na równe n części i przechodząc do granicy:

\(\int_{1}^{4} xdx\)

6. Zastosować twierdzenie o wartości średniej dla całki: \(\int_{0}^{3} x^2dx\)

Byłbym niezwykle wdzięczny za każdą pomoc

[Crazy Driver]

W 1 oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

\(\int x' \cdot arctg \frac{1}{x}dx\)

Teraz całkuj przez części.

[Crazy Driver]

3. Na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^{2}\) każdą liczbę zespoloną \(z=a+bi\) można utożsamić z punktem \(\left( a,b\right)\). Wtedy np. wszystkie punkty spełniające \(\left|z \right|=1\) to po prostu wszystkie punkty spełniające równanie: \(a^{2}+b^{2}=1\). Warunek o tym, że część rzeczywista \(z\) jest dodatnia przekłada się tutaj na warunek dodatniości pierwszej współrzędnej punktu.

[Crazy Driver]

4. Wyznacz wektory, na których rozpięty jest ten czworościan. Moduł wyznacznika macierzy złożonej z tych wektorów jest szukaną objętością.

[Crazy Driver]

2. Równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych rozwiązuje się tak samo, jak o współczynnikach rzeczywistych.

[Crazy Driver]

5. Spójrzmy na pole pod wykresem funkcji \(y=x\) na przedziale \(\left[1,4 \right]\). Jest to trapez. Jak zaczniemy dzielić ten przedział na \(n\) równcyh części, otrzymamy podział na \(n\) trapezów. Trzeba zatem wyrazić sobie pole każdego takiego trapezu w zależności od \(n\) i \(k\). Następnie zapisać sumę skończoną pól tych trapezów i obliczyć jej granicę.

[Crazy Driver]

6. twierdzenie o wartości średniej dla całek mówi tyle:

\(\exist \xi \in \left(a,b \right): \quad \quad f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x)dx\)

Oczywiście funkcja jest całkowalna na \(\left[ a,b\right]\)

[irena]

1.
\(\int arc tg \frac{1}{x}dx=\\ \left(u=arc tg \frac{1}{x}\\u'=\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot\frac{-1}{x^2}=-\frac{1}{x^2+1}\\v'=1\\v=x \right) \\=x arc tg \frac{1}{x}+\int\frac{x}{x^2+1}dx=x arc tg\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx=\\=x arc tg\frac{1}{x}+\frac{1}{2}ln|x^2+1|+C\)

[irena]

2.
\(z^2+(i-2)z+2+2i=0\\\Delta=(i-2)^2-4(2+2i)=i^2-4i+4-8-8i=-5-12i\\\sqrt{\Delta}=a+bi\\(a+bi)^2=-5-12i\\a^2+2abi-b^2=-5-12i\\ \begin{cases}a^2-b^2=-5\\2abi=-12 \end{cases} \\b=-\frac{6}{a}\\a^2-\frac{36}{a^2}=-5\\a^4+5a^2-36=0\\\Delta_1=25+144=169\\a^2=\frac{-5-13}{2}<0\ \vee\ a^2=\frac{-5+13}{2}=4\\ \begin{cases}a=2\\b=-3 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}a=-2\\b=3 \end{cases} \\\sqrt{\Delta}=2-3i\ \ \vee\ \ \sqrt{\Delta}=-2+3i\)

\(z_1=\frac{-i+2-2+3i}{2}=i\ \ \vee\ \ z_2=\frac{-i+2+2-3i}{2}=2-2i\)

[irena]

4.
\(\vec{AB}=[2,\ 0,\ 2]\\\vec{AC}=[-3,\ 1,\ 3]\\\vec{AD}=[-5,\ -1,\ 4]\\V=\frac{1}{6}\cdot| \begin{vmatrix}2&0&2\\-3&1&3\\-5&-1&4 \end{vmatrix} |=\frac{1}{6}\cdot|8+6+10+6|=\frac{1}{6}\cdot30=5\)

[Crazy Driver]

Racja. Zapomniałem, że to jest sympleks i potrzebna jest jeszcze 1/6.

[Svanar]

A={z \(\in\) RxR : |1+iz|<1, rez <0}

Mógł by ktoś to jeszcze mi wyjaśnić ? ;/ bo nie mogę sobie poradzić z warunkiem |1+iz|<1 dokładnie, nie wiem co zrobić z tym iz

[irena]

\(z=(a,\ b)\\z=a+bi\\1+iz=1+ai+bi^2=1-b+ai\\|1+iz|=\sqrt{(1-b)^2+a^2}\\\sqrt{a^2+(1-b)^2}<1\\a^2+(b-1)^2<1\\a<0\)
A to wnętrze półkola o środku w punkcie (0, 1) i promieniu r=1, odcięte osią OY (lewa część, po lewej stronie osi OY, bez brzegu).
Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałam i pomogłam...