za pomocą funkcji tworzącej wyznaczyć ciąg \(a_n\):
\(a_0=2, a_1=5, a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}\) dla \(n \ge 2\)
funkcja tworząca ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: funkcja tworząca ciągu
\(a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}
F_{n+2}=4F_{n+1}-3F_{n}
\frac{F_n}{x^2}-\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x}=\frac{4F_n}{x}-\frac{4a_0}{x}-3F_n
F_n-a_0-a_1x=4xF_n-4xa_0-3x^2F_n
F_n \left(3x^2-4x+1\right) =-4xa_0+a_0+a_1x=-3x+2
F_n=\frac{-3x+2}{3x^2-4x+1}= \frac{-3x+2}{3(x-1)(x-\frac{1}{3})} = -\frac{1}{2(x-1)} -\frac{1}{2(x-\frac{1}{3})}= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1-3x}= \frac{1}{2}x^n+\frac{3}{2} \cdot \left( 3x\right) ^n=
=\frac{1}{2}x^n+\frac{1}{2} \cdot 3^{n+1}x^n=\frac{1}{2}\left(1+ 3^{n+1}\right) x^n
a_n=\frac{1}{2}\left(1+ 3^{n+1}\right)\)
F_{n+2}=4F_{n+1}-3F_{n}
\frac{F_n}{x^2}-\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x}=\frac{4F_n}{x}-\frac{4a_0}{x}-3F_n
F_n-a_0-a_1x=4xF_n-4xa_0-3x^2F_n
F_n \left(3x^2-4x+1\right) =-4xa_0+a_0+a_1x=-3x+2
F_n=\frac{-3x+2}{3x^2-4x+1}= \frac{-3x+2}{3(x-1)(x-\frac{1}{3})} = -\frac{1}{2(x-1)} -\frac{1}{2(x-\frac{1}{3})}= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1-3x}= \frac{1}{2}x^n+\frac{3}{2} \cdot \left( 3x\right) ^n=
=\frac{1}{2}x^n+\frac{1}{2} \cdot 3^{n+1}x^n=\frac{1}{2}\left(1+ 3^{n+1}\right) x^n
a_n=\frac{1}{2}\left(1+ 3^{n+1}\right)\)