W zbiorze liczb zespolonych rozwiązac równanie.

[gołąb]

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązac równanie.
za pomoc z góry dzięuje...

1. \(z\overline{z}+z=3+i\)

2.\(\frac{1}{z} +\overline{z}=2 , gdzie: z=x+iy\)

[irena]

1.
\(z=a+bi\\a,\ b\in\ R\\\overline{z}=a-bi\)

\((a+bi)(a-bi)+a+bi=3+i\\a^2-b^2i^2+a+bi=3+i\\a^2+b^2+a+bi=3+i\\ \begin{cases}a^2+b^2+a=3\\b=1 \end{cases} \\a^2+a+1-3=0\\a^2+a-2=0\\(a+2)(a-1)=0\\a=-2\ \vee\ a=1\\z_1=-2+i\ \ \vee\ \ z_2=1+i\)

[irena]

2.
\(z=a+bi\\\overline{z}=a-bi\)

\(\frac{1}{a+bi}+a-bi=2\\\frac{1+(a+bi)(a-bi)}{a+bi}=2\\1+a^2+b^2=2a+2bi\\a^2-2a+1+b^2-2bi=0\\ \begin{cases}(a-1)^2+b^2=0\\-2b=0 \end{cases} \\b=0\ \wedge\ (a-1)^2=0\\b=0\ \wedge\ a=1\\z=1+0i\\z=1\)