Wykaż , że iloraz liczb postaci a + b√c , gdzie a , b są liczbami wymiernymi i c nie jest kwadratem liczby wymiernej jest liczbą takiej samej postaci.
Wiem że liczby należy wykazać jako iloraz liczby a + b√c i d + e√c i wynik też musi być postaci f + g√c. Tylko jak do tego dojść?
Wykaż że...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
\(a,b,d,e\in W\ \ i\ \ d\neq 0\ \ i\ \ e\neq 0\ oraz\ c\ nie\ jest\ kwadratem \ liczby\ wymiernej\\)
\(\ \frac{a+b\sqrt c}{d+e\sqrt c}=\frac{a+b\sqrt c}{d+e\sqrt c}\cdot \frac{d-e\sqrt c}{d-e\sqrt c}=\frac{ad-ae\sqrt c+bd\sqrt c- bec}{d^2-ce^2}=\frac{ad-bec}{d^2-ce^2}+\frac{bd-ae}{d^2-ce^2}\cdot \sqrt c\)
W związku z początkowym założeniem, ułamek będący pierwszym składnikiem sumy jest liczbą wymierną, oraz ułamek stojący przed pierwiastkiem z c też jest liczbą wymierną; czyli iloraz liczb postaci\(\ \ a+b\sqrt c\ \\)można przedstawić w tej samej postaci.
\(\ \frac{a+b\sqrt c}{d+e\sqrt c}=\frac{a+b\sqrt c}{d+e\sqrt c}\cdot \frac{d-e\sqrt c}{d-e\sqrt c}=\frac{ad-ae\sqrt c+bd\sqrt c- bec}{d^2-ce^2}=\frac{ad-bec}{d^2-ce^2}+\frac{bd-ae}{d^2-ce^2}\cdot \sqrt c\)
W związku z początkowym założeniem, ułamek będący pierwszym składnikiem sumy jest liczbą wymierną, oraz ułamek stojący przed pierwiastkiem z c też jest liczbą wymierną; czyli iloraz liczb postaci\(\ \ a+b\sqrt c\ \\)można przedstawić w tej samej postaci.