Ekstremum lokalne funkcji

[Wiktoriiia]

Zad 1. Znaleźć ekstremum lokalne funkcji i wyznaczyć przedziały monotoniczności:

\(f(x)= x \sqrt{4 - x^2}\)

Jakby mógł ktoś zrobić to bym była wdzięczna.. BO ja robiłam to zadanie na kolokwium ale nie wiem czy dobrze zrobiłam..

[Galen]

Najpierw ustal dziedzinę:
\(4-x^2 \ge 0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;D=[-2;2]\)
Oblicz pochodną,wyznacz jej miejsca zerowe i określ znak pochodnej przy przejściu
przez miejsce zerowe.
\(f'(x)= \sqrt{4-x^2}+x \cdot \frac{-2x}{2 \sqrt{4-x^2} }= \frac{4-2x^2}{ \sqrt{4-x^2} }\\
f'(x)=0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4-2x^2=0\;\;\;\;i\;\;\;x \in D\\
f'(x)=0 \;\;\;dla\;\;\;x=- \sqrt{2}\;\;\;oraz\;\;\;x= \sqrt{2}\\
f'(x)>0\;\;\;\;dla\;\;\;\;x \in (- \sqrt{2}; \sqrt{2})
f'(x)<0\;\;\;dla\;\;\;\;x \in [-2;- \sqrt{2})\;\;oraz\;\;x \in ( \sqrt{2};2]\)
W punkcie \(x=- \sqrt{2}\) pochodna zmienia znak z minus na plus,zatem tam jest
minimum.
\(f_{min}=f(- \sqrt{2})=-2\)
W punkcie \(x= \sqrt{2}\) f' zmienia znak z + na - ,zatem tam jest maksimum.
\(f_{MAX}=f( \sqrt{2})=2\)

[Galen]

Jeszcze przedziały monotoniczności.
W przedziale \([- \sqrt{2}; \sqrt{2}]\) pochodna jest dodatnia,zatem funkcja jest rosnąca.
W każdym z przedziałów,gdzie pochodna jest ujemna funkcja jest malejąca.

Wykres zrób sobie tu:

Kod: Zaznacz cały

http://www3.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B5%3D9