Prawdopodobieństwo - podzielność przez 12
: 19 kwie 2009, 13:41
ZAD.
Spośród liczb naturalnych od \(1\) do \(1200\) losujemy bez zwracania 2 liczby \(m\) i \(n\).
Jakie jest p-wo zdarzenia, że liczba
\(2(mn)^2 + m^2\)
jest podzielna przez \(12\) ?
Oto jak ja to próbowałem robić:
\(\Omega = [ (m,n) : m,n = (1,2,...,1200) , m \neq n ]\)
Zdarzeń elementarnych jest więc \(1200\cdot 1199\)
Przechodząc do zdarzenia, liczba jest podzielna przez 12 gdy dzieli się przez 4 i przez 3.
\(2(mn)^2 + m^2\) = \(m^2(2n^2+1)\)
Ponieważ \(2n^2+1\) jest nieparzyste, to nie może być podzielne przez 4. Stąd musi dzielić się przez 3.
Jeśli tak, to \(2n^2+1\in (3,6,9,...,1200)\)
\(2n^2\in (2,5,8,11,...,1199)\)
\(n^2\in(1,\frac{5}{2},4,\frac{11}{2},...,599,\frac{1199}{2})\)
Jeśli \(n\in N\), to \(n\in (1,2,4,5,7,8,10,11,...,22,23)\)
Takich liczb jest więc 16.
\(4|m^2\) , gdy m jest parzyste, a ponieważ \(m\neq n\) , to należy odjąc od wszystkich liczb parzystych ( których w zbiorze jest 600) parzyste n. Jest ich 8, więc wszystkich m będzie \(600-8=592\)
Stąd wszystkich par \((m,n)\) jest \(592\cdot 16\).
Prawdopodobieństwo to już wiadomo jak dalej. Chciałbym żeby ktoś zerknął, czy to jest dobrze. Bo coś mi nie pasuje trochę, może trzeba rozpatrzeć jeszcze jakieś inne przypadki? Nie mam odpowiedzi, nie ma mi kto sprawdzić, więc może na forum.
Pozdrawiam
Spośród liczb naturalnych od \(1\) do \(1200\) losujemy bez zwracania 2 liczby \(m\) i \(n\).
Jakie jest p-wo zdarzenia, że liczba
\(2(mn)^2 + m^2\)
jest podzielna przez \(12\) ?
Oto jak ja to próbowałem robić:
\(\Omega = [ (m,n) : m,n = (1,2,...,1200) , m \neq n ]\)
Zdarzeń elementarnych jest więc \(1200\cdot 1199\)
Przechodząc do zdarzenia, liczba jest podzielna przez 12 gdy dzieli się przez 4 i przez 3.
\(2(mn)^2 + m^2\) = \(m^2(2n^2+1)\)
Ponieważ \(2n^2+1\) jest nieparzyste, to nie może być podzielne przez 4. Stąd musi dzielić się przez 3.
Jeśli tak, to \(2n^2+1\in (3,6,9,...,1200)\)
\(2n^2\in (2,5,8,11,...,1199)\)
\(n^2\in(1,\frac{5}{2},4,\frac{11}{2},...,599,\frac{1199}{2})\)
Jeśli \(n\in N\), to \(n\in (1,2,4,5,7,8,10,11,...,22,23)\)
Takich liczb jest więc 16.
\(4|m^2\) , gdy m jest parzyste, a ponieważ \(m\neq n\) , to należy odjąc od wszystkich liczb parzystych ( których w zbiorze jest 600) parzyste n. Jest ich 8, więc wszystkich m będzie \(600-8=592\)
Stąd wszystkich par \((m,n)\) jest \(592\cdot 16\).
Prawdopodobieństwo to już wiadomo jak dalej. Chciałbym żeby ktoś zerknął, czy to jest dobrze. Bo coś mi nie pasuje trochę, może trzeba rozpatrzeć jeszcze jakieś inne przypadki? Nie mam odpowiedzi, nie ma mi kto sprawdzić, więc może na forum.
Pozdrawiam