Obliczyć:
\(\int_{}^{} \frac{cosx+1}{sinx+1}dx\)
Nie wiem co wykombinować nawet z tą całką. Ma ktoś jakiś pomysł?
Jakiś dziwny wynik ma wyjść:
\(2ln|1+tg \frac{x}{2}|-2ctg \frac{x}{2}-ln|1+tg^2 \frac{x}{2}| +c\)
całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Wiktoriiia
- Czasem tu bywam
- Posty: 147
- Rejestracja: 04 lut 2010, 22:30
- Podziękowania: 81 razy
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(\sin x=\sin 2\cdot\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}
\cos x=\cos 2\cdot\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}
\int\frac{\cos x+1}{\sin x+1}dx=\int\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}+1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+1}dx=\int\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}dx=\int\frac{2}{2\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}+1+\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}dx=
=\int\frac{2}{tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+1}dx
t=tg\frac{x}{2}
x=2arctgt
dx=\frac{2}{1+t^2}dt
\int\frac{2}{tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+1}dx=\int\frac{2}{t^2+2t+1} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{4}{(t+1)^2(1+t^2)}dt=\int \frac{2}{t+1}+\frac{2}{(t+1)^2}-\frac{2t}{t^2+1}dt=
=\int \frac{2}{t+1}dt+\int\frac{2}{(t+1)^2}dt-\int\frac{2t}{(t^2+1)}dt=2\ln \left|t+1\right|-\frac{2}{t+1}-\int\frac{1}{(t^2+1)}d(t^2+1)=2\ln \left|t+1\right|-\frac{2}{t+1}-\ln\left|t^2+1\right|+C=
=2\ln \left|tg\frac{x}{2}+1\right|-\frac{2}{tg\frac{x}{2}+1}-\ln\left|tg^2\frac{x}{2}+1\right|+C\)
\cos x=\cos 2\cdot\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}
\int\frac{\cos x+1}{\sin x+1}dx=\int\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}+1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+1}dx=\int\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}dx=\int\frac{2}{2\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}+1+\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}dx=
=\int\frac{2}{tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+1}dx
t=tg\frac{x}{2}
x=2arctgt
dx=\frac{2}{1+t^2}dt
\int\frac{2}{tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+1}dx=\int\frac{2}{t^2+2t+1} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{4}{(t+1)^2(1+t^2)}dt=\int \frac{2}{t+1}+\frac{2}{(t+1)^2}-\frac{2t}{t^2+1}dt=
=\int \frac{2}{t+1}dt+\int\frac{2}{(t+1)^2}dt-\int\frac{2t}{(t^2+1)}dt=2\ln \left|t+1\right|-\frac{2}{t+1}-\int\frac{1}{(t^2+1)}d(t^2+1)=2\ln \left|t+1\right|-\frac{2}{t+1}-\ln\left|t^2+1\right|+C=
=2\ln \left|tg\frac{x}{2}+1\right|-\frac{2}{tg\frac{x}{2}+1}-\ln\left|tg^2\frac{x}{2}+1\right|+C\)