Zbiornik z wodą

[wdsk]

W zbiorniku o objętości \(480\) litrów znajdowało się \(230\) litrów wody. Po odkręceniu zaworów, w ciągu pierwszej minuty do zbiornika napłynęło \(20\) litrów wody, a w każdej następnej minucie o \(2\) litry wody więcej niż w poprzedniej. Jednocześnie przez zawór odpływowy w ciągu każdej minuty wydostawało się ze zbiornika \(39\) litrów wody. Niech \(V(n)\) oznacza objętość wody w zbiorniku po upływie \(n-tej\) minuty.
a) Znajdź wzór funkcji \(V\).
b) Oblicz, kiedy w zbiorniku było najmniej wody.
c) Oblicz, w której minucie woda przelała się ze zbiornika.

[Pol]

a)
\(V(n)=230-39n+\frac{2\cdot 20+(n-1)\cdot 2}{2}\cdot n=n^2-20n+230\)

b)
ponieważ funkcja to parabola z ramiona do góry, trzeba obliczyć wsp. X wierzchołka
\(x=\frac {-b} {2a} = \frac {20} {2\cdot 1} = 10\)
w 10 minucie

c)
\(V(n) > 480 \\
n^2-20n+230 > 480 \\
n^2-20n-250 > 0 \\
\Delta = sqrt(1400) \\
n_1 = 5(2+\sqrt(14) = 28,7082869338697 \\
n_2 = ... < 0\)

jeśli się nigdzie nie machnąłem no to w 28 minucie przeleje się zbiornik

[wdsk]

W dwóch zbiornikach \(Z_{1}\) i \(Z_{2}\) znajduje się woda. Ze zbiornika \(Z_{1}\) przepompowano do zbiornika \(Z_{2}\) tyle wody, że ilość wody w \(Z_{2}\) podwoiła się. Następnie ze zbiornika \(Z_{2}\) przepompowano do zbiornika \(Z_{1}\) tyle wody, że ilość wody w \(Z_{1}\) potroiła się. Okazało się wówczas, że w obu zbiornikach jest po \(450\) litrów wody. Oblicz, ile wody było na początku w każdym zbiorniku.

[Pol]

początek:
Z1 = x
Z2 = y

pierwsze przelanie wody (skoro do Z2 dolano y wody, to z Z1 ją wypompowano)
Z1 = x - y
Z2 = 2 * y

drugie przelanie wody
Z1 = 3 * (x - y)
Z2 = 2 * y - 2 * (x - y)

i układ równań
3 * (x - y) = 450
2 * y - 2 * (x - y) = 450

3x - 3y = 450
2y - 2x + 2y = 450

x - y =150
2y - x = 225 (dodajemy stronami)

y = 375
x = 525