Ekstremum funkcji

[Wiktoriiia]

Zbadaj istnienie ekstremum bezwarunkowego funkcji:

c) \(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy\)

MI wychodzi tylko że jest punkt (0,0) a powinno jeszcze wyjść \(P=( \sqrt{2},- \sqrt{2)}\) i \(P=(- \sqrt{2},\sqrt{2)}\)

Proszę o pomoc w miarę szybką.

[szymon65]

Liczysz ze wzoru na pochodna funkcji.

[Wiktoriiia]

No ja liczyłam tylko mi nie wychodzi.. dlatego poprosiłam o rozwiązanie..

[octahedron]

\(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy
{\{f_x=4x^3-4x+4y=0\\f_y=4y^3-4y+4x=0}\ \Rightarrow 4x^3+4y^3=0\ \Rightarrow x=-y\ \Rightarrow f_x=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0\ \Rightarrow
\begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=- \sqrt{2}\\y=\sqrt{2} \end{cases} \vee \begin{cases} x= \sqrt{2}\\y=-\sqrt{2} \end{cases}
f_{xx}=12x^2-4
f_{yy}=12y^2-4
f_{xy}=4
W(x,y)=f_{xx} \cdot f_{yy}-f^2_{xy}>0
\left(12x^2-4 \right) \left( 12y^2-4\right) -16>0
16\left(3x^2-1 \right) \left( 3y^2-1\right) -16>0
\left(3x^2-1 \right) \left( 3y^2-1\right) -1>0
W(- \sqrt{2},\sqrt{2})>0\ \wedge\ f_{xx}>0\text{ minimum}
W( \sqrt{2},-\sqrt{2})>0\ \wedge\ f_{xx}>0\text{ minimum}
W(0,0)=0\text{ nie rozstrzyga}
x=-y
f(-y,y)=2y^4-8y^2=2y^2(y^2-4)\text{ maksimum dla y=0}
x=y
f(y,y)=2y^4\text{ minimum dla y=0}
\text{ czyli nie ma tu ekstremum}\)