Podstawa ostrosłupa...

[Kris3k]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę alfa. Wszystkie krawędzie boczne mają długość k i są nachylone do podstawy pod kątem beta. Oblicz objętość tego ostrosłupa.


Mogę prosić z rysunkiem, bo mam z tym problem właśnie? wynik to 1/6 *k^3 *sin2alfa * sin2beta * cosbeta

[radagast]

ScreenHunter_022.jpg (10.25 KiB) Przejrzano 858 razy

trójkąty FGS FCS i FBS są przystające zatem FG=FC=FB zatem F jest środkiem przeciwprostokątnej
czyli wygląda to tak:

ScreenHunter_025.jpg (11.95 KiB) Przejrzano 857 razy

\(h=SF=ksin \beta\)
\(FC=kcos \beta\)

\(GC=2kcos \beta\)
\(BC=2kcos \beta sin \alpha\)
\(GC=2kcos \beta cos \alpha\)

no to
\(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2kcos \beta sin \alpha \cdot 2kcos \beta cos \alpha \cdot ksin \beta=
\frac{1}{6}k^3 sin 2 \beta sin 2\alpha \cdot cos \beta\)

[adampp_93]

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć dlaczego punkt F jest środkiem przeciwprostokątnej? Reszte zadania rozumiem, ale tego nie. Odcinek FB ma być równy odcinkom FC i FG, ale skąd wiadomo, że do takiej sytuacji dojdzie właśnie gdy punkt F będzie leżał na środku przeciwprostokątnej a nie na przykład w takim miejscu jak na pierwszym rysunku?

[wrobel93b]

Cytując irenę:

Jeśli wszystkie krawędzie boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie podstawy.
Ponieważ podstawą jest trójkąt prostokątny, więc spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem przeciwprostokątnej (przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym).