\(15=14+1\) \(15^{231}=(14+1)^{231}\)
Stosując do tego rozwinięcie Newtona zauważamy, ze wszystkie składniki poza ostatnim dzielą się przez 14, a ostatni to 1
zatem reszta z dzielenia \(15^{231}\) przez 14 to 1
Nie nie , z trzecim to coś żle kombinujesz. Tam jest dzielenie przez 23, (a nie przez 207, ani 208) poczekaj pomyśle ( i sam tez pomyśl ale jakoś inaczaj )
No to drugie też mam ale niezbyt ładnie:
reszty z dzielenia kolejnych potęg trójki przez 11 to:
3
9
5
4
1
...
i od początku (cykl powtarza sie co 5 pozycji)
reszty z dzielenia kolejnych potęg dwójki przez 11 to:
2
4
8
5
10
9
7
3
6
1
...
i od początku (cykl powtarza sie co 10 pozycji)
czyli \(3^{80}\) przy dzieleniu przez 11 daje resztę 1 (5-ta reszta z cyklu) \(2^{80}\) przy dzieleniu przez 11 daje resztę 1 (10-ta reszta z cyklu)
no to \(2^{80} +3^{80}\) przy dzieleniu przez 11 daje resztę 2
\(3^{80}=(3^5)^{16}=243^{16}=(22\cdot11+1)^{16}\)
Tu reszta z dzielenia jest równa 1 \(2^{80}=(2^5)^{16}=32^{16}=(3\cdot11-1)^{16}\)
Tu też reszta z dzielenia jest równa 1.
