matematyka trygonometria

[scianka003]

2. Oblicz pole i obwód prostokąta jeżeli jego przekątna o długości d=18 jest nachylona do jednego z boków pod kątem a= 30stopni . Wykonaj rysunek pomocniczy.
3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jeżeli krawędź boczna o długości 12 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a=60 stopni

[octahedron]

2.\(\ S=ab=dsin\alpha\cdot dcos\alpha=d^2sin\alpha cos\alpha=\frac{d^2}{2}sin2\alpha=\frac{18^2}{2}sin60^{o}=81\sqrt{3}\)
3. l=12
a - bok postawy
h - wysokość ściany bocznej
H - wysokość ostrosłupa
\(\frac{a\sqrt{2}}{2}=lcos\alpha\Rightarrow a=\sqrt{2}lcos\alpha
H=lsin\alpha
V=\frac{1}{3}a^2H=\frac{2}{3}l^3cos^2\alpha sin\alpha =\frac{2}{3}l^3cos^2\alpha sin\alpha =\frac{2}{3}12^3\frac{\sqrt{3}}{8}=144\sqrt{3}
h=\sqrt{H^2+\(\frac{a}{2}\)^2}=\sqrt{\(lsin\alpha\)^2+\(\frac{\sqrt{2}lcos\alpha}{2}\)^2}=l\sqrt{sin^2\alpha+\frac{cos^2\alpha}{2}}
S=4\cdot \frac{1}{2}ah+a^2=2l^2cos\alpha\sqrt{2sin^2\alpha+cos^2\alpha}+2l^2cos^2\alpha=2l^2cos\alpha\(\sqrt{sin^2\alpha+1}+cos\alpha\)=2\cdot 12^2\cdot \frac{1}{2}\(\frac{\sqrt{7}+1}{2}\)=
=72\(\sqrt{7}+1\)\)