forum.zadania.info

W czworościan foremny o krawędzi a wpisano graniastosłup trójkątny w taki sposób, że wierzchołki jego górnej podstawy są środkami ścian czworościanu. Wykonaj odpowiedni rysunek. Oblicz objętość otrzymanego graniastosłupa

czekam na propozycje z góry dzieki

\(|SO|=\frac{a\sqrt6}{3}\\
|DE|=\frac{a}{2}\\
|SD|=|SE|=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Środek ściany, to środek jej ciężkości.
Wysokośći w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

\(|B'E|=\frac{1}{3}|SE|\\
|B'E|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\\
|B'E|=\frac{a\sqrt3}{6}\)
\(|B'S|=\frac{2}{3}|SE|\\
|B'S|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\\
|B'S|=\frac{a\sqrt3}{3}\)

Obliczam \(|BB'|\)
Z podobieństwa trójkątów OES i BEB'
\(\frac{|SO|}{|SE|}=\frac{|BB'|}{|B'E|}\\
\frac{\frac{a\sqrt6}{3}}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{|BB'|}{\frac{a\sqrt3}{6}}\\
|BB'|=\frac{a\sqrt6}{9}\)

Obliczam \(|A'B'|\)
Z podobieństwa trójkątów DES i A'B'S
\(\frac{|A'B'|}{|B'S|}=\frac{|DE|}{|SE|}\\
\frac{|A'B'|}{\frac{a\sqrt3}{3}}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt3}{2}}\\
|A'B'|=\frac{\frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt3}{3}}{\frac{a\sqrt3}{2}}\\
|A'B'|=\frac{a}{3}\)

Obliczam \(V\)
\(V=\frac{|A'B'|^2\sqrt3}{4}\cdot |B'B|\\
V=\frac{(\frac{a}{3})^2\sqrt3}{4}\cdot \frac{a\sqrt6}{9}\\
V=\frac{a^3 \sqrt2}{108}\)

dzieki